Grup Galois

Grup matematikaTemplat:SHORTDESC:Grup matematika

Artikel ini bukan mengenai Bidang Galois.

Dalam matematika, di bidang aljabar abstrak yang dikenal sebagai teori Galois, Grup Galois dari jenis tertentu ekstensi bidang adalah grup spesifik yang terkait dengan ekstensi bidang. Studi tentang perluasan lapangan dan hubungannya dengan polinomial yang memunculkan mereka melalui kelompok Galois disebut teori Galois, dinamai demikian untuk menghormati Évariste Galois yang pertama kali dibahas.

Untuk pembahasan yang lebih mendasar tentang grup Galois dalam istilah grup permutasi, lihat artikel di teori Galois.

Definisi

Misalkan E {\displaystyle E} $E$ adalah perpanjangan dari bidang F {\displaystyle F} $F$ (ditulis sebagai E / F {\displaystyle E/F} $E/F$ dan dibaca "E di atas F "). Automorfisme dari E / F {\displaystyle E/F} $E/F$ didefinisikan sebagai automorfisme dari E {\displaystyle E} $E$ dari F {\displaystyle F} $F$ secara searah. Dengan kata lain, automorfisme E / F {\displaystyle E/F} $E/F$ adalah isomorfisme α : E → E {\displaystyle \alpha :E\to E} $\alpha :E\to E$ sehingga α ( x ) = x {\displaystyle \alpha (x)=x} $\alpha (x)=x$ untuk x ∈ F {\displaystyle x\in F} $x\in F$ . Himpunan dari semua automorfisme E / F {\displaystyle E/F} $E/F$ membentuk grup dengan operasi komposisi fungsi. Grup ini terkadang dilambangkan dengan Aut ⁡ ( E / F ) . {\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).} $\operatorname {Aut} (E/F).$

Jika E / F {\displaystyle E/F} $E/F$ adalah ekstensi Galois, maka Aut ⁡ ( E / F ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)} $\operatorname {Aut} (E/F)$ disebut 'Galois group' dari E / F {\displaystyle E/F} $E/F$ , dan biasanya dilambangkan dengan Gal ⁡ ( E / F ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)} $\operatorname {Gal} (E/F)$ .

Beberapa penulis merujuk Aut ⁡ ( E / F ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)} $\operatorname {Aut} (E/F)$ sebagai grup Galois untuk ekstensi arbitrer E / F {\displaystyle E/F} $E/F$ dan menggunakan notasi yang sesuai, oleh Jacobson 2009.

Jika E / F {\displaystyle E/F} $E/F$ bukan ekstensi Galois, maka grup Galois dari E / F {\displaystyle E/F} $E/F$ terkadang didefinisikan sebagai Aut ⁡ ( K / F ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (K/F)} $\operatorname {Aut} (K/F)$ , di mana K {\displaystyle K} $K$ adalah penutupan Galois dari E {\displaystyle E} $E$ .

Grup Galois dari suatu polinomial

Definisi lain dari grup Galois berasal dari grup Galois dari polinomial f ∈ F [ x ] {\displaystyle f\in F[x]} $f\in F[x]$ . Jika ada bidang K / F {\displaystyle K/F} $K/F$ sedemikian rupa sehingga f {\displaystyle f} $f$ menjadi faktor sebagai produk dari polinomial linier

f ( x ) = ( x − α 1 ) ⋯ ( x − α k ) ∈ K [ x ] {\displaystyle f(x)=(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{k})\in K[x]} $f(x)=(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{k})\in K[x]$

di atas bidang K {\displaystyle K} $K$ , maka grup Galois dari polinomial f {\displaystyle f} $f$ didefinisikan sebagai grup Galois dari K / F {\displaystyle K/F} $K/F$ di mana K {\displaystyle K} $K$ minimal di antara semua bidang tersebut.

Struktur grup Galois

Teorema dasar teori Galois

Salah satu teorema struktur penting dari teori Galois berasal dari teorema fundamental teori Galois. Ini menyatakan bahwa diberi ekstensi Galois terbatas K / k {\displaystyle K/k} $K/k$ , ada bijection antara himpunan subbidang k ⊂ E ⊂ K {\displaystyle k\subset E\subset K} $k\subset E\subset K$ dan subgrup H ⊂ G . {\displaystyle H\subset G.} $H\subset G.$ Kemudian, E {\displaystyle E} $E$ diberikan oleh himpunan invarian dari K {\displaystyle K} $K$ di bawah aksi H {\displaystyle H} $H$ , jadi

E = K H = { a ∈ K : g a = a dimana g ∈ H } {\displaystyle E=K^{H}=\{a\in K:ga=a{\text{ dimana }}g\in H\}} $E=K^{H}=\{a\in K:ga=a{\text{ dimana }}g\in H\}$

Selain itu, jika H {\displaystyle H} $H$ adalah subgrup normal maka G / H ≅ Gal ⁡ ( E / k ) {\displaystyle G/H\cong \operatorname {Gal} (E/k)} $G/H\cong \operatorname {Gal} (E/k)$ . Dan sebaliknya, jika E / k {\displaystyle E/k} $E/k$ adalah ekstensi bidang normal, maka subgrup terkait di Gal ⁡ ( K / k ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (K/k)} $\operatorname {Gal} (K/k)$ adalah grup normal.

Struktur kisi

Misalkan K 1 , K 2 {\displaystyle K_{1},K_{2}} $K_{1},K_{2}$ adalah ekstensi Galois dari k {\displaystyle k} $k$ dengan grup Galois G 1 , G 2 . {\displaystyle G_{1},G_{2}.} $G_{1},G_{2}.$ Bidang K 1 K 2 {\displaystyle K_{1}K_{2}} $K_{1}K_{2}$ dengan grup Galois G = Gal ⁡ ( K 1 K 2 / k ) {\displaystyle G=\operatorname {Gal} (K_{1}K_{2}/k)} $G=\operatorname {Gal} (K_{1}K_{2}/k)$ memiliki injeksi G → G 1 × G 2 {\displaystyle G\to G_{1}\times G_{2}} $G\to G_{1}\times G_{2}$ yang merupakan isomorfisme K 1 ∩ K 2 = k {\displaystyle K_{1}\cap K_{2}=k} $K_{1}\cap K_{2}=k$ .^[1]

Indruksi

Sebagai dilakukan berkali-kali secara tak terbatas. Maka ekstensi Galois K 1 , … , K n / k {\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{n}/k} $K_{1},\ldots ,K_{n}/k$ where K i + 1 ∩ ( K 1 ⋯ K i ) = k , {\displaystyle K_{i+1}\cap (K_{1}\cdots K_{i})=k,} $K_{i+1}\cap (K_{1}\cdots K_{i})=k,$ maka isomorfisme dari grup Galois:

Gal ⁡ ( K 1 ⋯ K n / k ) ≅ G 1 × ⋯ × G n . {\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{1}\cdots K_{n}/k)\cong G_{1}\times \cdots \times G_{n}.} $\operatorname {Gal} (K_{1}\cdots K_{n}/k)\cong G_{1}\times \cdots \times G_{n}.$

Contoh

Dalam contoh berikut F {\displaystyle F} $F$ adalah bidang, dan C , R , Q {\displaystyle \mathbb {C} ,\mathbb {R} ,\mathbb {Q} } $\mathbb {C} ,\mathbb {R} ,\mathbb {Q}$ adalah bidang bilangan kompleks, riil, dan rasional. Notasi F(a) menunjukkan ekstensi bidang yang diperoleh dengan adjunsi elemen a ke bidang F .

Alat komputasi

Kardinalitas grup Galois dan derajat perluasan bidang

Salah satu proposisi dasar yang diperlukan untuk sepenuhnya menentukan grup Galois^[2] dari ekstensi medan hingga adalah sebagai berikut: Polinomial f ( x ) ∈ F [ x ] {\displaystyle f(x)\in F[x]} $f(x)\in F[x]$ , maka E / F {\displaystyle E/F} $E/F$ menjadi ekstensi bidang pemisahnya. Maka urutan grup Galois sama dengan derajat perpanjangan medan; itu adalah,

| Gal ⁡ ( E / F ) | = [ E : F ] {\displaystyle |\operatorname {Gal} (E/F)|=[E:F]} $|\operatorname {Gal} (E/F)|=[E:F]$

Kriteria Eisenstein

Alat yang berguna untuk menentukan kelompok Galois dari suatu polinomial berasal dari kriteria Eisenstein. Jika polinomial f ∈ F [ x ] {\displaystyle f\in F[x]} $f\in F[x]$ faktor menjadi polinomial tidak dapat direduksi f = f 1 ⋯ f k {\displaystyle f=f_{1}\cdots f_{k}} $f=f_{1}\cdots f_{k}$ grup Galois dari f {\displaystyle f} $f$ dapat ditentukan menggunakan grup Galois dari setiap f i {\displaystyle f_{i}} $f_{i}$ karena grup Galois dari f {\displaystyle f} $f$ adalah grup Galois dari f i . {\displaystyle f_{i}.} $f_{i}.$

Grup trivial

Gal ⁡ ( F / F ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (F/F)} $\operatorname {Gal} (F/F)$ merupakan golongan trivial yang memiliki satu unsur yaitu automorfisme identitas.

Contoh lain dari grup Galois trivial adalah Aut ⁡ ( R / Q ) . {\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} ).} $\operatorname {Aut} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} ).$ Memang, dapat ditunjukkan bahwa automorfisme dari R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ urutan dari bilangan riil dan karenanya harus menjadi identitas.

Pertimbangkan bidang K = Q ( 2 3 ) . {\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).} $K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).$ Grup Aut ⁡ ( K / Q ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (K/\mathbb {Q} )} $\operatorname {Aut} (K/\mathbb {Q} )$ hanya berisi automorfisme identitas. Ini karena K {\displaystyle K} $K$ bukan ekstensi norma, karena dua akar pangkat tiga lainnya dari 2 {\displaystyle 2} $2$ ,

exp ⁡ ( 2 π i 3 ) 2 3 {\displaystyle \exp \left({\tfrac {2\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}}} $\exp \left({\tfrac {2\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}}$ and exp ⁡ ( 4 π i 3 ) 2 3 , {\displaystyle \exp \left({\tfrac {4\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}},} $\exp \left({\tfrac {4\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}},$

hilang dari ekstensi, dengan kata lain K bukan bidang pemisah.

Properti

Arti penting perpanjangan menjadi Galois adalah bahwa ia mematuhi teorema dasar teori Galois: subgrup tertutup (sehubungan dengan topologi Krull) dari grup Galois sesuai dengan bidang perantara dari ekstensi bidang.

Jika E / F {\displaystyle E/F} $E/F$ adalah ekstensi Galois, maka Gal ⁡ ( E / F ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)} $\operatorname {Gal} (E/F)$ dapat diberi topologi, yang disebut topologi Krull, yang membuatnya menjadi grup tak hingga.

Lihat pula

Catatan

↑ Lang, Serge. Algebra (Edisi Revised Third). hlm. 263, 273.
↑ "Abstract Algebra" (PDF). hlm. 372–377. Diarsipkan (PDF) dari versi aslinya tanggal 2021-05-07. Diakses tanggal 2021-01-22.