Bilangan poligonal

Dalam matematika, bilangan poligonal adalah bilangan yang menghitung jumlah titik yang dapat disusun dalam bentuk poligon beraturan. Bilangan ini adalah salah satu jenis bilangan bergambar dua dimensi.

Definisi dan contoh

Misalnya, 10 titik dapat disusun sebagai segitiga. Maka, 10 dikatakan sebagai bilangan poligonal dengan jumlah poligon adalah 3 (lihat bilangan segitiga).

Namun, 10 titik tidak dapat disusun sebagai persegi. Sebaliknya, 9 titik dapat disusun sebagai persegi, seperti di bawah (lihat bilangan persegi).

Daftar ini tidak eksklusif. Beberapa bilangan dapat masuk dalam beberapa daftar bilangan. Misalnya, 36 titik dapat disusun menjadi persegi dan segitiga. Artinya, 36 termasuk dalam bilangan persegi dan segitiga (lihat bilangan persegi segitiga).

Menurut kesepakatan, 1 adalah bilangan poligonal pertama untuk seluruh jumlah sisi. Aturan untuk memperbesar poligon adalah dengan memperpanjang sisi bersebelahan satu poin dan menambahkan sisi di antara dua poin tersebut. Dalam diagram-diagram di bawah, tambahan lapisan ditandai dengan titik merah.

Bilangan segitiga

Bilangan persegi

Poligon dengan jumlah sisi yang lebih banyak, misalnya pentagon dan heksagon, dapat juga dibuat dengan aturan di atas, namun titik-titiknya tidak lagi memiliki kisi-kisi sempurna seperti di atas.

Bilangan pentagonal

Bilangan heksagonal

Rumus

Jika s {\displaystyle s} $s$ adalah jumlah sisi dalam poligon, rumus bilangan s {\displaystyle s} $s$ -gonal ke- n {\displaystyle n} $n$ , P(s,n), adalah

P ( s , n ) = ( s − 2 ) n 2 − ( s − 4 ) n 2 {\displaystyle P(s,n)={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}} $P(s,n)={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}$

atau

P ( s , n ) = ( s − 2 ) n ( n − 1 ) 2 + n {\displaystyle P(s,n)=(s-2){\frac {n(n-1)}{2}}+n} $P(s,n)=(s-2){\frac {n(n-1)}{2}}+n$

Bilangan s {\displaystyle s} $s$ -gonal ke-n juga berhubungan dengan bilangan segitiga T_n sebagai berikut:^[1]

P ( s , n ) = ( s − 2 ) T n − 1 + n = ( s − 3 ) T n − 1 + T n . {\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.} $P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.$

Dengan demikian:

P ( s , n + 1 ) − P ( s , n ) = ( s − 2 ) n + 1 , P ( s + 1 , n ) − P ( s , n ) = T n − 1 = n ( n − 1 ) 2 , P ( s + k , n ) − P ( s , n ) = k T n − 1 = k n ( n − 1 ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}P(s,n+1)-P(s,n)&=(s-2)n+1\,,\\P(s+1,n)-P(s,n)&=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,,\\P(s+k,n)-P(s,n)&=kT_{n-1}=k{\frac {n(n-1)}{2}}\,.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}P(s,n+1)-P(s,n)&=(s-2)n+1\,,\\P(s+1,n)-P(s,n)&=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,,\\P(s+k,n)-P(s,n)&=kT_{n-1}=k{\frac {n(n-1)}{2}}\,.\end{aligned}}$

Untuk bilangan s {\displaystyle s} $s$ -gonal tertentu dengan P(s,n) = x, n dapat dicari dengan cara:

n = 8 ( s − 2 ) x + ( s − 4 ) 2 + ( s − 4 ) 2 ( s − 2 ) {\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+{(s-4)}^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}} $n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+{(s-4)}^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}$

dan dapat mencari s {\displaystyle s} $s$ dengan cara:

s = 2 + 2 n ⋅ x − n n − 1 {\displaystyle s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {x-n}{n-1}}} $s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {x-n}{n-1}}$ .

Setiap bilangan heksagonal juga merupakan bilangan segitiga

Dengan menerapkan rumus di atas:

P ( s , n ) = ( s − 2 ) T n − 1 + n {\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n} $P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n$

dengan kasus 6 sisi ( s = 6 {\displaystyle s=6} $s=6$ ), maka:

P ( 6 , n ) = 4 T n − 1 + n {\displaystyle P(6,n)=4T_{n-1}+n} $P(6,n)=4T_{n-1}+n$

namun karena:

T n − 1 = n ( n − 1 ) 2 {\displaystyle T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}} $T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}$

maka:

P ( 6 , n ) = 4 n ( n − 1 ) 2 + n = 2 n ( 2 n − 1 ) 2 = T 2 n − 1 {\displaystyle P(6,n)={\frac {4n(n-1)}{2}}+n={\frac {2n(2n-1)}{2}}=T_{2n-1}} $P(6,n)={\frac {4n(n-1)}{2}}+n={\frac {2n(2n-1)}{2}}=T_{2n-1}$

Hal ini menunjukkan bahwa bilangan heksagonal ke- n {\displaystyle n} $n$ atau P ( 6 , n ) {\displaystyle P(6,n)} $P(6,n)$ juga merupakan bilangan segitiga ke- ( 2 n − 1 ) {\displaystyle (2n-1)} $(2n-1)$ atau T 2 n − 1 {\displaystyle T_{2n-1}} $T_{2n-1}$ . Bilangan heksagonal dapat dicari dengan mengambil bilangan segitiga ganjil:^[1]

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...

Lihat juga

Referensi

Catatan kaki

1 2 Conway, John H.; Guy, Richard (2012-12-06). The Book of Numbers (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 38–41. ISBN 978-1-4612-4072-3.