Teori akustik

Teori akustik adalah suatu bidang keilmuan yang berhubungan dengan gelombang suara. Teori akustik diturunkan dari dinamika fluida.

Propagasi gelombang suara di dalam cairan (salah satu contohnya adalah air) dapat dimodelkan dengan persamaan kontinuitas (konservasi massa) dan persamaan gerak (konservasi momentum) . Dengan beberapa penyederhanaan, di kepadatan konstan tertentu, dapat dinyatakan dalam persamaan berikut:

∂ p ∂ t + κ   ∇ ⋅ u = 0 (Keseimbangan massa) ρ 0 ∂ u ∂ t + ∇ p = 0 (Keseimbangan momentum) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p}{\partial t}}+\kappa ~\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\qquad {\text{(Keseimbangan massa)}}\\\rho _{0}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla p&=0\qquad {\text{(Keseimbangan momentum)}}\end{aligned}}}

Di mana p ( x , t ) {\displaystyle p(\mathbf {x} ,t)} adalah tekanan akustik dan u ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)} adalah kecepatan aliran vektor. x {\displaystyle \mathbf {x} } adalah vektor koordinat spasial x , y , z {\displaystyle x,y,z} , t {\displaystyle t} adalah waktu. ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}} adalah massa kepadatan statis dari medium. κ {\displaystyle \kappa } adalah modulus bulk dari medium. Modulus bulk dapat dinyatakan dalam bentuk kepadatan dan kecepatan suara dalam medium ( c 0 {\displaystyle c_{0}} ):

κ = ρ 0 c 0 2   . {\displaystyle \kappa =\rho _{0}c_{0}^{2}~.}

Jika medan kecepatan aliran adalah irrotational, ∇ × u = 0 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {u} =\mathbf {0} } , maka persamaan gelombang akustik adalah kombinasi dari dua set persamaan keseimbangan dan dapat dinyatakan sebagai^[1]

∂ 2 u ∂ t 2 − c 0 2   ∇ 2 u = 0 or ∂ 2 p ∂ t 2 − c 0 2   ∇ 2 p = 0 , {\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}~\nabla ^{2}\mathbf {u} =0\qquad {\text{or}}\qquad {\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}~\nabla ^{2}p=0,}

di mana kita menggunakan vektor Laplacian, ∇ 2 u = ∇ ( ∇ ⋅ u ) − ∇ × ( ∇ × u ) {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} )} . Persamaan gelombang akustik (dan persamaan massa dan momentum keseimbangan) sering dinyatakan dalam skalar potensial φ {\displaystyle \varphi } di mana u = ∇ φ {\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi } . Dalam hal ini persamaan gelombang akustik dituliskan sebagai

∂ 2 φ ∂ t 2 − c 0 2   ∇ 2 φ = 0 {\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}~\nabla ^{2}\varphi =0}

dan momentum keseimbangan dan massa keseimbangan diekspresikan dengan:

p + ρ 0   ∂ φ ∂ t = 0   ;     ρ + ρ 0 c 0 2   ∂ φ ∂ t = 0   . {\displaystyle p+\rho _{0}~{\cfrac {\partial \varphi }{\partial t}}=0~;~~\rho +{\cfrac {\rho _{0}}{c_{0}^{2}}}~{\cfrac {\partial \varphi }{\partial t}}=0~.}

Catatan kaki