Teorema garis bagi segitiga

γ 1 = γ 2 ⇔ | A C | | B C | = | A D | | B D | {\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}\,\Leftrightarrow \,{\tfrac {|AC|}{|BC|}}={\tfrac {|AD|}{|BD|}}} $\gamma _{1}=\gamma _{2}\,\Leftrightarrow \,{\tfrac {|AC|}{|BC|}}={\tfrac {|AD|}{|BD|}}$

Dalam geometri, teorema garis bagi segitiga menyatakan bahwa garis bagi segitiga dari suatu sudut membagi sisi yang berseberangan dengan sudut tersebut sesuai dengan perbandingan sisi lain yang bersebelahan.

Teorema

Pandang segitiga △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} $\triangle ABC$ . Misalkan D {\displaystyle D} $D$ suatu titik pada sisi A B {\displaystyle AB} $AB$ sedemikian sehingga ruas garis C D {\displaystyle CD} $CD$ membagi sudut ∠ A C B {\displaystyle \angle ACB} $\angle ACB$ menjadi dua sudut yaitu sudut γ 1 = ∠ A C D {\displaystyle \gamma _{1}=\angle ACD} $\gamma _{1}=\angle ACD$ und γ 2 = ∠ D C B {\displaystyle \gamma _{2}=\angle DCB} $\gamma _{2}=\angle DCB$ . Jika kedua sudut tersebut sama ukurannya, yakni ruas garis C D {\displaystyle CD} $CD$ adalah garis bagi segitiga pada sudut ∠ A C B {\displaystyle \angle ACB} $\angle ACB$ , maka berlaku:

| A C | | B C | = | A D | | D B | {\displaystyle {\frac {|AC|}{|BC|}}={\frac {|AD|}{|DB|}}} ${\frac {|AC|}{|BC|}}={\frac {|AD|}{|DB|}}$ .

Teorema ini dapat diperumum untuk sebarang C D {\displaystyle CD} $CD$ yang membagi sudut dengan sembarang ukuran. Perbandingan berikut berlaku:^[1]

| A C | sin ⁡ ( γ 1 ) | B C | sin ⁡ ( γ 2 ) = | A D | | D B | {\displaystyle {\frac {|AC|\sin(\gamma _{1})}{|BC|\sin(\gamma _{2})}}={\frac {|AD|}{|DB|}}} ${\frac {|AC|\sin(\gamma _{1})}{|BC|\sin(\gamma _{2})}}={\frac {|AD|}{|DB|}}$ .

Kebalikan teorema garis bagi segitiga juga berlaku. Yaitu, apabila D {\displaystyle D} $D$ adalah suatu titik pada sisi A B {\displaystyle AB} $AB$ suatu segitiga △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} $\triangle ABC$ dan berlaku perbandingan sisi | A C | | B C | = | A D | | D B | {\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|BC|}}={\tfrac {|AD|}{|DB|}}} ${\tfrac {|AC|}{|BC|}}={\tfrac {|AD|}{|DB|}}$ , maka C D {\displaystyle CD} $CD$ adalah garis bagi segitiga pada sudut C {\displaystyle C} $C$ .