Sudut dihedral

Sudut dihedral adalah sudut antara dua bidang yang berpotongan. Dalam kimia sudut dihedral adalah sudut antara bidang melalui dua pasang dari tiga atom, memiliki dua atom yang sama. Dalam geometri padatan sudut dihedral didefinisikan sebagai gabungan dari garis dan dua setengah bidang yang memiliki garis ini sebagai sisi . Dalam dimensi yang lebih tinggi, sudut dihedral mewakili sudut antara dua hiperbidang.^[1]

Latar belakang matematika

Ketika dua bidang yang berpotongan dijelaskan dalam koordinat Kartesian melalui dua persamaan

a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 {\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}

a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 {\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}

sudut dihedral, φ {\displaystyle \varphi } antara keduanya diberikan melalui persamaan:

cos ⁡ φ = | a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 | a 1 2 + b 1 2 + c 1 2 a 2 2 + b 2 2 + c 2 2 . {\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\right\vert }{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}.}

Metode alternatif yang digunakan adalah menghitung sudut antara vektor, n_A dan n_B, yang merupakan normal terhadap bidang.

cos ⁡ φ = | n A ⋅ n B | | n A | | n B | {\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\right\vert }{|\mathbf {n} _{\mathrm {A} }||\mathbf {n} _{\mathrm {B} }|}}}

di mana n_A · n_B adalah perkalian dot vektor dan |n_A| |n_B| adalah produk dari panjang mereka.^[2]

Setiap bidang juga dapat dijelaskan oleh dua vektor non-kolinear yang terletak di bidang tersebut, mengambil perkalian silang mereka menghasilkan vektor normal terhadap bidang. Dengan demikian, sudut dihedral dapat didefinisikan oleh tiga vektor, b₁, b₂ dan b₃, membentuk dua pasang vektor non-kolinear.^[3]

φ = atan2 ⁡ ( ( [ b 1 × b 2 ] × [ b 2 × b 3 ] ) ⋅ b 2 | b 2 | , [ b 1 × b 2 ] ⋅ [ b 2 × b 3 ] ) . {\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} \left({\big (}[\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}]\times [\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}]{\big )}\cdot {\frac {\mathbf {b} _{2}}{|\mathbf {b} _{2}|}},[\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}]\cdot [\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}]\right).}

Dalam stereokimia

Nama konfigurasi menurut sudut dihedral	sin n-Butana proyeksi Newman	sin n-Butana proyeksi kuda-kuda

Dalam kimia, suatu sudut torsi didefinisikan sebagai contoh khusus dari sudut dihedral, yang menggambarkan hubungan geometris dari dua bagian molekul yang digabungkan dengan ikatan kimia.^[4][5]

Dalam stereokimia setiap pasangan tiga atom (bukan ko-linear) dari molekul mendefinisikan sebuah bidang. Ketika dua bidang tersebut berpotongan, sudut di antara mereka adalah sudut dihedral. Sudut dihedral digunakan untuk menentukan konformasi molekul.^[6] Pengaturan stereokimia yang sesuai dengan sudut antara 0° dan ±90° disebut sin (s), yang sesuai dengan sudut antara ±90° dan 180° anti (a). Demikian pula, pengaturan yang berkaitan dengan sudut antara 30° dan 150° atau antara −30° dan −150° disebut klinal (c) dan yang berada pada sudut antara 0° dan ±30° atau ±150° dan 180° disebut periplanar (p).

Kedua jenis istilah diatas dapat dikombinasikan sehingga menetapkan empat rentang sudut; 0° sampai ±30° sinperiplanar (sp); 30° sampai 90° dan −30° sampai −90° sinklinal (sc); 90° sampai 150° dan −90° sampai −150° antiklinal (ac); ±150° sampai 180° antiperiplanar (ap). Konformasi sinperiplanar juga dikenal sebagai konformasi-sin atau cis; antiperiplanar sebagai anti atau trans; dan sinklinal sebagai gauche atau miring.

Sebagai contoh, dengan n-butana dua bidang dapat ditentukan dalam dua atom karbon sentral dan salah satu atom metil karbon. Konformasi-sinditunjukkan diatas, dengan sudut dihedral 60° lebih kurang stabil dibandingkan konformasi-anti dengan sudut dihedral 180°.

Untuk penggunaan makromolekul simbol T, C, G⁺, G⁻, A⁺ and A⁻ direkomendasikan (ap, sp, +sc, −sc, +ac dan −ac berturut-turut).

Geometri

Setiap polihedron memiliki sudut dihedral di setiap sisi yang menggambarkan hubungan dari dua muka yang berbagi sisi tersebut. Sudut dihedral ini, juga disebut sudut muka, diukur sebagai sudut internal terhadap polihedron. Sudut 0° berarti vektor normal muka berada antiparalel dan muka saling tumpang-tindih, yang menyiratkan bahwa hal tersebut adalah bagian dari polihedron degenerasi. Sudut 180° berarti muka polihedron sejajar, seperti dalam ubin. Sudut yang lebih besar dari 180° terdapat pada bagian-bagian cekung dari sebuah polihedron.

Setiap sudut dihedral dalam suatu polihedron sisi transitif memiliki nilai yang sama. Hal ini termasuk 5 padatan Platonik, 4 polihedral Kepler–Poinsot, dua padatan kuasiregular, dan dua padatan kuasiregular ganda.

Diberikan 3 muka polihedron yang bertemu di titik P umum dan memiliki sisi AP, BP dan CP, kosinus sudut dihedral antara muka yang mengandung APC dan BPC adalah:^[7]

cos ⁡ φ = cos ⁡ ( ∠ A P B ) − cos ⁡ ( ∠ A P C ) cos ⁡ ( ∠ B P C ) sin ⁡ ( ∠ A P C ) sin ⁡ ( ∠ B P C ) {\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\cos(\angle \mathrm {APB} )-\cos(\angle \mathrm {APC} )\cos(\angle \mathrm {BPC} )}{\sin(\angle \mathrm {APC} )\sin(\angle \mathrm {BPC} )}}}

Lihat pula

• Atropisomer

Referensi

Pranala luar

• (Inggris) Sudut Dihedral dalam Pertukangan di Tips.FM Diarsipkan 2016-03-03 di Wayback Machine
• (Inggris) Analisis 5 Polihedral Reguler memberikan derivasi setahap-demi-setahap dari nilai-nilai yang tepat ini.

Basis data pengawasan otoritas	GND