Solusi dalam radikal

Solusi dalam radikal persamaan polinomialTemplat:SHORTDESC:Solusi dalam radikal persamaan polinomial

Artikel ini bukan mengenai Bilangan aljabar.

Sebuah solusi dalam radikal atau solusi aljabar adalah ekspresi bentuk tertutup dan juga khusus ekspresi aljabar bentuk tertutup, yaitu solusi dari persamaan polinomial, dan hanya bergantung pada penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, tingkatan kuasa bilangan bulat, dan ekstraksi akar ke- n {\displaystyle n} $n$ (akar kuadrat, akar pangkat tiga, dan akar bilangan bulat lainnya).

Contoh biasanya sering digunakan adalah

x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}} $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$

dari persamaan kuadrat

a x 2 + b x + c = 0. {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.} $ax^{2}+bx+c=0.$

Ada solusi aljabar yang lebih rumit untuk persamaan kubik^[1] dan persamaan kuartik.^[2] teorema Abel–Ruffini,^[3]^: 211 dan khususnya teori Galois menyebutkan bahwa beberapa persamaan kuintik, seperti

x 5 − x + 1 = 0 , {\displaystyle x^{5}-x+1=0,} $x^{5}-x+1=0,$

tidak memiliki solusi aljabar. Hal yang sama berlaku untuk setiap derajat yang lebih tinggi. Namun, untuk tingkatan apa pun ada beberapa persamaan polinomial yang memiliki solusi aljabar; misalnya, persamaan x 10 = 2 {\displaystyle x^{10}=2} $x^{10}=2$ dapat diselesaikan sebagai x = ± 2 10 . {\displaystyle x=\pm {\sqrt[{10}]{2}}.} $x=\pm {\sqrt[{10}]{2}}.$ Delapan solusi lainnya adalah bilangan kompleks bukan real,l dan juga aljabar dan bentuk x = ± r 2 10 , {\displaystyle x=\pm r{\sqrt[{10}]{2}},} $x=\pm r{\sqrt[{10}]{2}},$ yang mana r {\displaystyle r} $r$ adalah akar satuan kelima yang biasanya didapatkan dengan dua akar kuadrat tersarang. Lihat pula, Fungsi kuintik § Kuintik berpenyelesaian lainnya untuk berbagai contoh lain pada tingkatan 5.

variste Galois memperkenalkan kriteria yang memungkinkan seseorang untuk memutuskan persamaan mana yang bisa dipecahkan dalam radikal. Lihat ekstensi radikal untuk formulasi hasil yang tepat.

Solusi aljabar membentuk himpunan bagian dari ekspresi bentuk tertutup, karena yang terakhir menggunakan fungsi transendental (fungsi non-aljabar) seperti fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, dan fungsi trigonometri (invers).

Lihat pula

Referensi

↑ Nickalls, R. W. D., "A new approach to solving the cubic: Cardano's solution revealed Diarsipkan 2020-10-29 di Wayback Machine," Mathematical Gazette 77, November 1993, 354-359.
↑ Carpenter, William, "On the solution of the real quartic," Mathematics Magazine 39, 1966, 28-30.
↑ Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1