Persamaan normal Hesse

Persamaan normal Hesse (dinamai dari matematikawan Otto Hesse) adalah persamaan yang digunakan dalam bidang geometri analitis. Persamaan ini mendeskripsikan garis di R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} atau bidang di ruang Euklides R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} atau bidang di dimensi yang lebih tinggi.^[1] Persamaan ini biasanya digunakan untuk menghitung jarak.

Persamaan ini ditulis dengan notasi vektor sebagai berikut:

r → ⋅ n → 0 − d = 0. {\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}

Titik ⋅ {\displaystyle \cdot } merupakan produk skalar atau produk titik. Vektor n → 0 {\displaystyle {\vec {n}}_{0}} melambangkan vektor normal satuan E atau g, yang mengarah dari titik awal ke bidangnya. Jarak d ≥ 0 {\displaystyle d\geq 0} adalah jarak dari titik awal ke bidangnya.

Persamaan ini dipenuhi oleh semua titik P yang dideskripsikan oleh vektor lokasi r → {\displaystyle {\vec {r}}} , yang terletak di bidang E.

Derivasi/perhitungan dari bentuk normal

Dalam bentuk normal:

( r → − a → ) ⋅ n → = 0 {\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}=0\,}

suatu bidang ditetapkan oleh vektor normal n → {\displaystyle {\vec {n}}} dan juga posisi sembarang vektor a → {\displaystyle {\vec {a}}} dan titik A ∈ E {\displaystyle A\in E} . Arah n → {\displaystyle {\vec {n}}} dipilih untuk memenuhi pertidaksamaan berikut:

a → ⋅ n → ≥ 0 {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {n}}\geq 0\,}

Dengan membagi vektor normal n → {\displaystyle {\vec {n}}} dengan | n → | {\displaystyle |{\vec {n}}|} , vektor satuan normal dapat diperoleh:

n → 0 = n → | n → | {\displaystyle {\vec {n}}_{0}={{\vec {n}} \over {|{\vec {n}}|}}\,}

dan persamaan di atas dapat ditulis ulang menjadi:

( r → − a → ) ⋅ n → 0 = 0. {\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}_{0}=0.\,}

Berdasarkan rumus berikut

d = a → ⋅ n → 0 ≥ 0 {\displaystyle d={\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0\,}

bentuk normal Hesse dapat diperoleh

r → ⋅ n → 0 − d = 0. {\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}

Catatan kaki