Momentum empat

Relativitas khusus

Prinsip relativitas Teori relativitas Relativitas khusus ganda Relativitas khusus invarian de Sitter Relativitas umum
Dasar Simultanitas Relativitas simultanitas Gerakan relatif Kerangka acuan Kerangka acuan inersia Kerangka diam Kerangka pusat momentum Laju cahaya Persamaan Maxwell Transformasi Lorentz
Konsekuensi Dilasi waktu Dilasi waktu gravitasi Massa relativistik Ekuivalensi massa–energi Kontraksi panjang Relativitas simultanitas Efek Doppler relativistik Presesi Thomas Cakram relativistik Paradoks pesawat luar angkasa Bell Paradoks Ehrenfest
Ruang waktu Ruang waktu Minkowski Garis dunia Diagram ruang waktu Kerucut cahaya
Dinamika Waktu wajar Massa wajar Skalar Lorentz Momentum empat
Sejarah Pendahulu Relativitas Galileo Transformasi Galileo Teori eter
Orang-orang Einstein Sommerfeld Michelson Morley FitzGerald Herglotz Lorentz Poincaré Minkowski Fizeau Abraham Born Planck von Laue Ehrenfest Tolman Dirac
Perumusan alternatif relativitas khusus
l b s

Dalam relativitas khusus, momentum empat adalah generalisasi dari momentum tiga-dimensi klasik untuk ruang waktu empat dimensi. Momentum merupakan sebuah vektor dalam tiga dimensi; sedangkan momentum-empat merupakan sebuah vektor empat dalam ruang waktu. Momentum empat kontravarian dari suatu partikel dengan energi relativistik E dan momentum-tiga p = (p_x, p_y, p_z) = γmv, di mana v adalah kecepatan-tiga dari partikel dan γ adalah faktor Lorentz, adalah

p = ( p 0 , p 1 , p 2 , p 3 ) = ( E c , p x , p y , p z ) . {\displaystyle p=(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3})=\left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right).} $p=(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3})=\left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right).$

Kuantitas mv di atas adalah momentum non-relativistik dari partikel dan m adalah massa diamnya. Momentum empat berguna dalam perhitungan relativistik karena merupakan sebuah vektor kovarian Lorentz. Artinya momentum empat mudah diikuti transformasinya apabila ditransformasikan menggunakan transformasi Lorentz.

Definisi di atas berlaku untuk konvensi koordinat dengan x⁰ = ct. Beberapa penulis menggunakan konvensi x⁰ = t, yang menghasilkan definisi yang berbeda dengan p⁰ = E/c². Suatu momentum empat yang kovarian juga bisa didefinisikan dengan lambang p_μ dan tanda energi dibalikkan.

Norma Minkowski

Menghitung kuadrat norma Minkowsi dari momentum empat menghasilkan sebuah kuantitas invarian Lorentz yang sama dengan (kelipatan dari laju cahaya c) kuadrat dari massa wajar partikel:

p ⋅ p = η μ ν p μ p ν = p ν p ν = − E 2 c 2 + | p | 2 = − m 2 c 2 {\displaystyle p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=-{E^{2} \over c^{2}}+|\mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}} $p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=-{E^{2} \over c^{2}}+|\mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}$

di mana

η μ ν = ( − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)} $\eta _{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)$

merupakan tensor metrik relativitas khusus dengan tanda metrik untuk definitnya dipilih (–1, 1, 1, 1). Nilai negatif dari norma mencerminkan bahwa momentum merupakan vektor-empat bakwaktu untuk partikel yang masif. Tandanya bisa dibalik untuk rumus-rumus tertentu (seperti rumus norma di atas). Pilihan ini tidaklah penting, tetapi bila sudah dipilih harus dijaga konsistensinya.

Norma Minkowski bersifat invarian Lorentz, berarti nilainy tidak diubah oleh transformasi Lorentz ke kerangka acuan yang berbeda. Secara umum, untuk momentum empat p dan q manapun, kuantitas p ⋅ q invarian.

Hubungan dengan kecepatan empat

Untuk suatu partikel masif, momentum empatnya diperoleh dari mass invarian partikel m dikalikan kecepatan empat partikel,

p μ = m u μ , {\displaystyle p^{\mu }=mu^{\mu },} $p^{\mu }=mu^{\mu },$

di mana kecepatan empat u adalah

u = ( u 0 , u 1 , u 2 , u 3 ) = γ v ( c , v x , v y , v z ) , {\displaystyle u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\gamma _{v}\left(c,v_{x},v_{y},v_{z}\right),} $u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\gamma _{v}\left(c,v_{x},v_{y},v_{z}\right),$

dan

γ v = 1 1 − v 2 c 2 {\displaystyle \gamma _{v}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} $\gamma _{v}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$