Lipatan (matematika)

Untuk kegunaan lain, lihat Manifold.

Dalam matematika, lipatan adalah suatu ruang topologis yang secara lokal menyerupai ruang euklides di dekat setiap titiknya. Lebih tepatnya, setiap titik dalam n-dimensi lipatan memiliki lingkungan yang homeomorfis ke ruang Euklides dimensi n.

Lipatan berdimensi-satu meliputi garis dan lingkaran, tetapi tidak termasuk angka delapan (karena mereka memiliki titik persimpangan yang secara lokal tidak homeomorfis ke ruang Euklides berdimensi-1). Lipatan berdimensi-dua juga disebut permukaan. Contohnya termasuk bidang, bulatan, dan torus, yang semuanya dapat tertanam (terbentuk tanpa swa-simpang, atau tanpa titik potong) dalam ruang nyata tiga dimensi, tetapi juga termasuk Botol Klein dan bidang proyektif nyata, yang akan selalu memiliki swa-simpang ketika terbenam dalam ruang tiga dimensi nyata.

Meskipun lipatan secara lokal menyerupai ruang Euklides, tetapi secara global tidaklah serupa. Misalnya, permukaan bola bukanlah sebuah ruang Euklides, tetapi dalam suatu daerah dapat dipetakan dengan proyeksi peta daerah itu ke dalam bidang euklides (dalam konteks lipatan mereka disebut grafik). Ketika suatu daerah muncul dalam dua grafik berdekatan, dua representasi tidak bertepatan persis dan transformasi yang diperlukan untuk melampaui dari satu ke yang lain disebut peta transisi .

Konsep lipatan adalah pusat dari banyak bidang geometri dan matematika fisikal modern. Karena konsep ini memungkinkan struktur yang lebih rumit untuk dijelaskan dan dipahami dalam sifat relatif yang dapat dipahami dari ruang Euklides. Lipatan secara alami muncul sebagai solusi set sistem persamaan dan sebagai grafik fungsi. Lipatan mungkin memiliki fitur tambahan. Salah satu kelas penting dari lipatan adalah kelas lipatan terdiferensialkan. struktur terdiferensiasi ini memungkinkan penerapan kalkulus pada lipatan. Sebuah Metrik Riemannian pada lipatan memungkinkan jarak dan sudut diukur. Lipatan simplektik berfungsi sebagai ruang fase dalam formalisme Hamiltonian dalam mekanika klasik, sedangkan model empat-dimensi Lipatan Lorentz adalah model ruang-waktu dalam relativitas umum.

Contoh-contoh mendasar

Lingkaran

Artikel utama: Lingkaran

Setelah garis, lingkaran adalah contoh paling sederhana dari manifold topologis. Topologi mengabaikan pembengkokan, sehingga sepotong kecil lingkaran diperlakukan persis sama dengan sepotong kecil garis. Perhatikan, misalnya, bagian atas satuan lingkaran, x² + y² = 1, di mana koordinat-y adalah positif (ditunjukan oleh busur kuning pada Gambar 1). Setiap titik busur ini dapat dijelaskan secara khusus oleh koordinat-x. Jadi, proyeksi ke koordinat pertama adalah kontinyu, dan terbalik, pemetaan dari busur atas ke interval terbuka (− 1,1):

χ t o p ( x , y ) = x . {\displaystyle \chi _{\mathrm {top} }(x,y)=x.\,} $\chi _{\mathrm {top} }(x,y)=x.\,$

Fungsi tersebut bersama dengan daerah terbuka yang mereka petakan disebut grafik l. Demikian pula, ada grafik untuk bagian bawah (merah), kiri (biru), dan kanan (hijau) bagian dari lingkaran:

χ b o t t o m ( x , y ) = x {\displaystyle \chi _{\mathrm {bottom} }(x,y)=x} $\chi _{\mathrm {bottom} }(x,y)=x$

χ l e f t ( x , y ) = y {\displaystyle \chi _{\mathrm {left} }(x,y)=y} $\chi _{\mathrm {left} }(x,y)=y$

χ r i g h t ( x , y ) = y . {\displaystyle \chi _{\mathrm {right} }(x,y)=y.} $\chi _{\mathrm {right} }(x,y)=y.$

Grafik atas dan kanan tumpang tindih: persimpangan mereka terletak pada kuartal lingkaran di mana kedua koordinat x dan y positif. Dua grafik χ_atas dan χ_kanan masing-masing memetakan bagian ini ke interval (0, 1). Dengan demikian fungsi T dari (0, 1) untuknya sendiri dapat disusun, yang pertama menggunakan invers dari grafik atas untuk mencapai lingkaran dan kemudian mengikuti grafik kanan kembali ke interval. Misalkan 'a' sembarang bilangan di (0, 1), maka:

T ( a ) = χ r i g h t ( χ t o p − 1 [ a ] ) = χ r i g h t ( a , 1 − a 2 ) = 1 − a 2 {\displaystyle {\begin{aligned}T(a)&=\chi _{\mathrm {right} }\left(\chi _{\mathrm {top} }^{-1}\left[a\right]\right)\\&=\chi _{\mathrm {right} }\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)\\&={\sqrt {1-a^{2}}}\end{aligned}}} ${\begin{aligned}T(a)&=\chi _{\mathrm {right} }\left(\chi _{\mathrm {top} }^{-1}\left[a\right]\right)\\&=\chi _{\mathrm {right} }\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)\\&={\sqrt {1-a^{2}}}\end{aligned}}$

Fungsi semacam ini disebut peta transisi.

Grafik atas, bawah, kiri, dan kanan menunjukan bahwa lingkaran adalah sebuah manifold, tetapi mereka tidak membentuk satu-satunya atlas yang mungkin terbentuk. Grafik tidak memerlukan proyeksi geometris, dan bilangan dalam grafik adalah persoalan pemilihan. Perhatikan grafik

χ m i n u s ( x , y ) = s = y 1 + x {\displaystyle \chi _{\mathrm {minus} }(x,y)=s={\frac {y}{1+x}}} $\chi _{\mathrm {minus} }(x,y)=s={\frac {y}{1+x}}$

dan

χ p l u s ( x , y ) = t = y 1 − x {\displaystyle \chi _{\mathrm {plus} }(x,y)=t={\frac {y}{1-x}}{}} $\chi _{\mathrm {plus} }(x,y)=t={\frac {y}{1-x}}{}$

Di sini s adalah kemiringan garis yang melalui titik pada koordinat (x,y) dan titik poros tetap (−1, 0); t sama-sama mengikuti, tetapi dengan titik poros (+1, 0). Invers pemetaan dari s ke (x, y) diberikan oleh

x = 1 − s 2 1 + s 2 y = 2 s 1 + s 2 {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}\\y&={\frac {2s}{1+s^{2}}}\end{aligned}}} ${\begin{aligned}x&={\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}\\y&={\frac {2s}{1+s^{2}}}\end{aligned}}$

Hal ini dengan mudahnya menegaskan bahwa x² + y² = 1 untuk semua nilai kemiringan s. Dua grafik ini menjadi atlas kedua untuk lingkaran, dengan

t = 1 s {\displaystyle t={\frac {1}{s}}} $t={\frac {1}{s}}$

Setiap grafik menghilangkan satu titik, baik (−1, 0) untuk s atau (+1, 0) untuk t, jadi tak ada satu grafik yang cukup untuk menutupi seluruh lingkaran. Hal ini dapat membuktikan bahwa tidak mungkin untuk menutupi lingkaran penuh dengan grafik tunggal. Sebagai contoh, meskipun ada kemungkinan untuk membangun sebuah lingkaran dari interval baris tumpang tindih dan "menempelkan" ujung, ini tidak menghasilkan grafik; sebagian dari lingkaran akan dipetakan ke kedua ujungnya sekaligus, kehilangan keterbalikan.