Konduksi panas

Konduksi panas atau hantaran panas (bahasa Inggris:thermal conduction) adalah penjalaran kalor tanpa disertai perpindahan bagian-bagian zat perantaranya. Penjalaran ini biasanya terjadi pada benda padat. Kalor mengalir pada konduktor dari sisi yang bersuhu tinggi ke sisi yang bersuhu rendah. Jadi, pada konduktor, suhu terbagi sepanjang konduktor sehingga membuat semacam lintasan untuk mengalirkan panas dari tempat dengan jumlah panas lebih banyak (suhu tinggi) ke tempat dengan jumlah panas lebih sedikit (suhu rendah).

Kuat penjalaran panas yang melewati kooduktor bergantung pada kemiringan pembagian suhu sepanjang konduktor sesuai hukum Fourier:

q = − k d T x d x {\displaystyle q=-k{\frac {dT_{x}}{dx}}} $q=-k{\frac {dT_{x}}{dx}}$

q {\displaystyle q} $q$ adalah kuat konduksi, T x {\displaystyle T_{x}} $T_{x}$ pembagian suhu pada konduktor, dan k {\displaystyle k} $k$ adalah konduktivitas panas.

Difusi Panas Konduktif

Pembagian suhu pada konduktor adalah melalui perembesan/difusi panas. Misalkan setelah d t {\displaystyle dt} $dt$ detik panas sebesar d Q {\displaystyle dQ} $dQ$ dari sumber telah sampai di x {\displaystyle x} $x$ sehingga memanaskan bagian konduktor sepanjang x − d x < ϵ < x + d x {\displaystyle x-dx<\epsilon <x+dx} $x-dx<\epsilon <x+dx$ sebagai:

d Q = ρ c p ϵ {\displaystyle dQ=\rho c_{p}\epsilon } $dQ=\rho c_{p}\epsilon$

d T {\displaystyle dT} $dT$

∂ d T d t = − k ρ c p ∂ d t d x | ϵ {\displaystyle {\frac {\partial dT}{dt}}=-k\rho c_{p}\partial dtdx|\epsilon } ${\frac {\partial dT}{dt}}=-k\rho c_{p}\partial dtdx|\epsilon$

Dengan mengambil lim dx-0, didapat

∂ d T d t = − 1 D ∂ d 2 T d x 2 {\displaystyle {\frac {\partial dT}{dt}}=-{\frac {1}{D}}{\frac {\partial d^{2}T}{dx^{2}}}} ${\frac {\partial dT}{dt}}=-{\frac {1}{D}}{\frac {\partial d^{2}T}{dx^{2}}}$

Hukum Fourier

Hukum konduksi panas, disebut juga Hukum Fourier, menyatakan bahwa tingkat (rate) perpindahan panas melalui sebuah material adalah berbanding lurus dengan gradien negatif pada suhu dan luas, pada sudut siku pada gradien tersebut, melalui di mana panas mengalir. Hukum ini dapat dinyatakan dalam 2 bentuk ekivalen: bentuk integral, di mana dilihat dari jumlah energi yang mengalir dari dan ke sebuah sistem secara keseluruhan, dan bentuk diferensial, di mana dilihat dari laju alir atau fluks energi secara lokal.

Hukum pendinginan Newton adalah analog diskret hukum Fourier, di mana Hukum Ohm adalah analog listrik dari Hukum Fourier.

Bentuk diferensial

Bentuk diferensial Hukum Fourier tentang konduksi panas menyatakan bahwa rapat fluks panas lokal, q → {\displaystyle {\overrightarrow {q}}} ${\overrightarrow {q}}$ , sama dengan perkalian antara konduktivitas panas, k {\displaystyle k} $k$ dengan negatif gradien suhu lokal, − ∇ T {\displaystyle -\nabla T} $-\nabla T$ . Rapat fluks panas adalah jumlah energi yang mengalir melalui sebuah satuan luas per satuan waktu.

q → = − k ∇ T {\displaystyle {\overrightarrow {q}}=-k{\nabla }T} ${\overrightarrow {q}}=-k{\nabla }T$

di mana (termasuk satuan SI)

q → {\displaystyle {\overrightarrow {q}}} ${\overrightarrow {q}}$ adalah rapat fluks panas lokal, W·m⁻²

k {\displaystyle {\big .}k{\big .}} ${\big .}k{\big .}$ adalah konduktivitas panas bahan, W·m⁻¹·K⁻¹,

∇ T {\displaystyle {\big .}\nabla T{\big .}} ${\big .}\nabla T{\big .}$ adalah gradien suhu, K·m⁻¹.

Konduktivitas panas, k {\displaystyle k} $k$ , sering dianggap konstan meski hal ini tidak selalu benar. Ketika konduktivitas panas bahan umumnya bervariasi menurut temperatur, perbedaannya sering kali kecil untuk selang suhu yang besar pada beberapa material umum. Pada material anisotropi, konduktivitas panas umumnya berbeda menurut orientasi, dalam kasusu ini k {\displaystyle k} $k$ dinyatakan dengan tensor orde-dua. Untuk material non-uniform, k {\displaystyle k} $k$ bervariasi menurut lokasi spasial.

Untuk banyak aplikasi sederhana, hukum Fourier digunakan dalam bentuk satu dimensinya. Dalam arah-x,

q x = − k d T d x {\displaystyle q_{x}=-k{\frac {dT}{dx}}} $q_{x}=-k{\frac {dT}{dx}}$

Bentuk integral

Dengan mengintegralkan bentuk diferensial terhadap total permukaan bahan S {\displaystyle S} $S$ , didapatkan bentuk integral Hukum Fourier:

∂ Q ∂ t = − k {\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}=-k} ${\frac {\partial Q}{\partial t}}=-k$ $\oiint$ S {\displaystyle \scriptstyle S} $\scriptstyle S$ ∇ T ⋅ d S {\displaystyle {\nabla }T\cdot \,dS} ${\nabla }T\cdot \,dS$

di mana (termasuk satuan SI):

∂ Q ∂ t {\displaystyle {\big .}{\frac {\partial Q}{\partial t}}{\big .}} ${\big .}{\frac {\partial Q}{\partial t}}{\big .}$ adalah jumlah panas berpindah per satuan waktu (dalam W), dan
d S {\displaystyle dS} $dS$ adalah elemen luas permukaan (dalam m²)

Persamaan diferensial diatas, jika diintegralkan untuk material homogen geometri satu bidang antara 2 titik pada suhu konstan, menghasilkan laju alir panas sebagai:

Δ Q Δ t = − k A Δ T Δ x {\displaystyle {\big .}{\frac {\Delta Q}{\Delta t}}=-kA{\frac {\Delta T}{\Delta x}}} ${\big .}{\frac {\Delta Q}{\Delta t}}=-kA{\frac {\Delta T}{\Delta x}}$

dengan

A adalah luas permukaan cross-sectional,

Δ T {\displaystyle \Delta T} $\Delta T$ adalah beda temperatur antara kedua ujung,

Δ x {\displaystyle \Delta x} $\Delta x$ adalah jarak antara kedua ujung.

Hukum ini membentuk dasar bagi penurunan persamaan panas.

Konduktansi

Ditulis

U = k Δ x , {\displaystyle {\big .}U={\frac {k}{\Delta x}},\quad } ${\big .}U={\frac {k}{\Delta x}},\quad$

dengan U adalah konduktansi dalam W/(m² K).

Hukum Fourier juga dapat dinyatakan sebagai:

Δ Q Δ t = U A ( − Δ T ) . {\displaystyle {\big .}{\frac {\Delta Q}{\Delta t}}=UA\,(-\Delta T).} ${\big .}{\frac {\Delta Q}{\Delta t}}=UA\,(-\Delta T).$

Kebalikan dari konduktansi adalah resistansi, R, ditulis sebagai:

R = 1 U = Δ x k = A ( − Δ T ) Δ Q Δ t . {\displaystyle {\big .}R={\frac {1}{U}}={\frac {\Delta x}{k}}={\frac {A\,(-\Delta T)}{\frac {\Delta Q}{\Delta t}}}.} ${\big .}R={\frac {1}{U}}={\frac {\Delta x}{k}}={\frac {A\,(-\Delta T)}{\frac {\Delta Q}{\Delta t}}}.$

Resistansi bertambah ketika beberapa lapisan konduksi terletak antara daerah panas dan dingin, karena A dan Q sama untuk semua lapisan. Pada partisi multilayer, total konduktansi berhubungan dengan konduktansi lapisan-lapisannya yaitu:

1 U = 1 U 1 + 1 U 2 + 1 U 3 + ⋯ {\displaystyle {\big .}{\frac {1}{U}}={\frac {1}{U_{1}}}+{\frac {1}{U_{2}}}+{\frac {1}{U_{3}}}+\cdots } ${\big .}{\frac {1}{U}}={\frac {1}{U_{1}}}+{\frac {1}{U_{2}}}+{\frac {1}{U_{3}}}+\cdots$

Maka, ketika dihadapkan pada partisi multilayer, rumus ini biasanya digunakan:

Δ Q Δ t = A ( − Δ T ) Δ x 1 k 1 + Δ x 2 k 2 + Δ x 3 k 3 + ⋯ . {\displaystyle {\big .}{\frac {\Delta Q}{\Delta t}}={\frac {A\,(-\Delta T)}{{\frac {\Delta x_{1}}{k_{1}}}+{\frac {\Delta x_{2}}{k_{2}}}+{\frac {\Delta x_{3}}{k_{3}}}+\cdots }}.} ${\big .}{\frac {\Delta Q}{\Delta t}}={\frac {A\,(-\Delta T)}{{\frac {\Delta x_{1}}{k_{1}}}+{\frac {\Delta x_{2}}{k_{2}}}+{\frac {\Delta x_{3}}{k_{3}}}+\cdots }}.$

Untuk konduksi panas dari satu fluida ke fluida lainnya melalui penghalang, terkadang dibutuhkan untuk menghitung konduktansi film tipis dari fluida yang diam di sekeliling penghalang. Film tipis fluida ini susah untuk dihitung karena karakteristiknya tergantung kondisi kompleks turbulensi dan viskositas—namun jika dihadapkan dengan penghalang konduktansi tinggi tipis maka dapat menjadi signifikan.

Penyajian properti-intensif

Pada persamaan konduktansi sebelumnya, dituliskan dalam properti ekstensif, dapat dirumuskan ulang dalam properti intensif. Idealnya, rumus untuk konduktansi seharusnya menghasilkan besaran dengan dimensi tidak tergantung jarak, seperti Hukum Ohm untuk hambatan listrik, R = V / I {\displaystyle R=V/I\,\!} $R=V/I\,\!$ , dan konduktansi listrik, G = I / V {\displaystyle G=I/V\,\!} $G=I/V\,\!$ .

Dari rumus listrik: R = ρ x / A {\displaystyle R=\rho x/A\,\!} $R=\rho x/A\,\!$ , di mana ρ adalah resistivitas, x adalah panjang, dan A adalah luasan cross-sectional, kita dapatkan G = k A / x {\displaystyle G=kA/x\,\!} $G=kA/x\,\!$ , dengan G adalah konduktansi, k adalah konduktivitas, x adalah panjang, dan A adalah luasan cross-sectional.

Untuk panas,

U = k A Δ x , {\displaystyle {\big .}U={\frac {kA}{\Delta x}},\quad } ${\big .}U={\frac {kA}{\Delta x}},\quad$

dengan U adalah konduktansi.

Hukum Fourier juga dapat dituliskan sebagai:

Q ˙ = U Δ T , {\displaystyle {\big .}{\dot {Q}}=U\,\Delta T,\quad } ${\big .}{\dot {Q}}=U\,\Delta T,\quad$

analog dengan Hukum Ohm, I = V / R {\displaystyle I=V/R\,\!} $I=V/R\,\!$ atau I = V G . {\displaystyle I=VG\,\!.} $I=VG\,\!.$

Kebalikan dari konduktansi adalah resistansi, R,dituliskan sebagai:

R = Δ T Q ˙ , {\displaystyle {\big .}R={\frac {\Delta T}{\dot {Q}}},\quad } ${\big .}R={\frac {\Delta T}{\dot {Q}}},\quad$

analog dengan Hukum Ohm, R = V / I . {\displaystyle R=V/I\,\!.} $R=V/I\,\!.$

Aturan dalam menggabungkan resistensi dan konduktansi (dalam seri dan paralel) sama dengan aliran panas dan arus listrik.

Shell silindris

Konduksi melalui shell bentuk silindris (misalnya, pipa) dapat dihitung dari jari-jari dalam, r 1 {\displaystyle r_{1}} $r_{1}$ , jari-jari luas, r 2 {\displaystyle r_{2}} $r_{2}$ , panjang, ℓ {\displaystyle \ell } $\ell$ , dan perbedaan suhu antara dinding luar dan dalam, T 2 − T 1 {\displaystyle T_{2}-T_{1}} $T_{2}-T_{1}$ .

Luas permukaan silinder adalah A r = 2 π r ℓ {\displaystyle A_{r}=2\pi r\ell } $A_{r}=2\pi r\ell$

Ketika digunakan Persamaan Fourier:

Q ˙ = − k A r d T d r = − 2 k π r ℓ d T d r {\displaystyle {\dot {Q}}=-kA_{r}{\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} r}}=-2k\pi r\ell {\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} r}}} ${\dot {Q}}=-kA_{r}{\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} r}}=-2k\pi r\ell {\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} r}}$

diatur ulang menjadi:

Q ˙ ∫ r 1 r 2 1 r d r = − 2 k π ℓ ∫ T 1 T 2 d T {\displaystyle {\dot {Q}}\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {1}{r}}\mathrm {d} r=-2k\pi \ell \int _{T_{1}}^{T_{2}}\mathrm {d} T} ${\dot {Q}}\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {1}{r}}\mathrm {d} r=-2k\pi \ell \int _{T_{1}}^{T_{2}}\mathrm {d} T$

kemudian rate transfer panas adalah:

Q ˙ = 2 k π ℓ T 1 − T 2 ln ⁡ ( r 2 / r 1 ) {\displaystyle {\dot {Q}}=2k\pi \ell {\frac {T_{1}-T_{2}}{\ln(r_{2}/r_{1})}}} ${\dot {Q}}=2k\pi \ell {\frac {T_{1}-T_{2}}{\ln(r_{2}/r_{1})}}$

dan hambatan panas adalah:

R c = Δ T Q ˙ = ln ⁡ ( r 2 / r 1 ) 2 π k ℓ {\displaystyle R_{c}={\frac {\Delta T}{\dot {Q}}}={\frac {\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi k\ell }}} $R_{c}={\frac {\Delta T}{\dot {Q}}}={\frac {\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi k\ell }}$

dan Q ˙ = 2 π k ℓ r m T 1 − T 2 r 2 − r 1 {\displaystyle {\dot {Q}}=2\pi k\ell r_{m}{\frac {T_{1}-T_{2}}{r_{2}-r_{1}}}} ${\dot {Q}}=2\pi k\ell r_{m}{\frac {T_{1}-T_{2}}{r_{2}-r_{1}}}$ , dengan r m = r 2 − r 1 ln ⁡ ( r 2 / r 1 ) {\displaystyle r_{m}={\frac {r_{2}-r_{1}}{\ln(r_{2}/r_{1})}}} $r_{m}={\frac {r_{2}-r_{1}}{\ln(r_{2}/r_{1})}}$ . Penting untuk diketahui bahwa ini adalah log-mean radius.

Bola

Konduksi melalui shell bentuk bola dengan jari-jari dalam, r 1 {\displaystyle r_{1}} $r_{1}$ , dan jari-jari luar, r 2 {\displaystyle r_{2}} $r_{2}$ , dapat dihitung seperti pada shell bentuk silindris.

Luas permukaan bola adalah: A = 4 π r 2 . {\displaystyle \!A=4\pi r^{2}.} $\!A=4\pi r^{2}.$

Seperti pada shell silindris diatas, menghasilkan: Q ˙ = 4 k π T 1 − T 2 1 / r 1 − 1 / r 2 = 4 k π ( T 1 − T 2 ) r 1 r 2 r 2 − r 1 {\displaystyle {\dot {Q}}=4k\pi {\frac {T_{1}-T_{2}}{1/{r_{1}}-1/{r_{2}}}}=4k\pi {\frac {(T_{1}-T_{2})r_{1}r_{2}}{r_{2}-r_{1}}}} ${\dot {Q}}=4k\pi {\frac {T_{1}-T_{2}}{1/{r_{1}}-1/{r_{2}}}}=4k\pi {\frac {(T_{1}-T_{2})r_{1}r_{2}}{r_{2}-r_{1}}}$

Pranala luar

Newton's Law of Cooling by Jeff Bryant based on a program by Stephen Wolfram, Wolfram Demonstrations Project.
Sample Heaters
When Will My Turkey Be Done? Diarsipkan 2013-03-31 di Wayback Machine is an example of applied heat conduction equations similar to Newton's Law of Cooling which predict the cooking time of turkeys and other roasts.