Jarak Minkowski atau metrik Minkowski adalah metrik dalam ruang vektor bernorma yang dapat disebut sebagai generalisasi jarak Euklides dan jarak Manhattan. Jarak ini dinamai dari Hermann Minkowski, matematikawan Jerman.
Definisi
Jarak Minkowski derajat p (p adalah bilangan bulat) antara dua titik riil, X = (x1, x2,..., xn) dan Y = (y1, y2,..., yn), dapat didefinisikan sebagai berikut.
-
D
(
X
,
Y
)
=
(
∑
i
=
1
n
|
x
i
−
y
i
|
p
)
1
p
{\displaystyle D(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}
Jarak Minkowski biasa dipakai dengan p bernilai satu (jarak Manhattan) atau dua (jarak Euklides). Untuk limit p mendekati takhingga, kita mendapatkan jarak Chebyshev:
-
lim
p
→
∞
(
∑
i
=
1
n
|
x
i
−
y
i
|
p
)
1
p
=
max
i
=
1
n
|
x
i
−
y
i
|
.
{\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}=\max _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|.}
Untuk p mendekati negatif takhingga, kita mendapatkan
-
lim
p
→
−
∞
(
∑
i
=
1
n
|
x
i
−
y
i
|
p
)
1
p
=
min
i
=
1
n
|
x
i
−
y
i
|
.
{\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}=\min _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|.}
Gambar di bawah menunjukkan lingkaran satuan (himpunan titik yang berjarak satu satuan panjang dari tengah) untuk berbagai nilai p
