Distribusi produk

Distribusi produk adalah distribusi probabilitas yang dibangun sebagai distribusi produk dari variabel acak yang memiliki dua distribusi lain yang dikenal. Dengan dua variabel yang independen dan acak, X dan Y, distribusi dari variabel acak Z yang terbentuk sebagai produk

Z = X Y {\displaystyle Z=XY}

adalah distribusi produk.

Aljabar variabel acak

Produk adalah salah satu jenis aljabar bagi variabel acak: Berkaitan dengan distribusi produk adalah rasio distribusi, jumlah distribusi dan perbedaan distribusi. Lebih umumnya, seseorang dapat menyebutnya sebagai kombinasi jumlah, perbedaan, produk, dan rasio.

Banyak hal dari distribusi ini telah dijelaskan dalam buku karangan Melvin D. Springer pada tahun 1979 berjudul The Algebra of Random Variables.^[1]

Dalam teori ilmu komputer

Dalam teori pembelajaran komputasi, distribusi produk D {\displaystyle {\mathcal {D}}} lebih dari { 0 , 1 } n {\displaystyle \{0,1\}^{n}} ditentukan oleh parameter μ 1 , μ 2 , … , μ n {\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{n}} . Masing-masing parameter μ i {\displaystyle \mu _{i}} memberikan marginal probabilitas bahwa bit i dari x ∈ { 0 , 1 } n {\displaystyle x\in \{0,1\}^{n}} disampelkan sebagai x ∼ D {\displaystyle x\sim {\mathcal {D}}} adalah 1; yaitu μ i = Pr D ⁡ [ x i = 1 ] {\displaystyle \mu _{i}=\operatorname {Pr} _{\mathcal {D}}[x_{i}=1]} . Dalam pengaturan ini, distribusi seragam hanyalah distribusi produk dengan setiap μ i = 1 / 2 {\displaystyle \mu _{i}=1/2} .

Distribusi produk adalah alat utama yang digunakan untuk membuktikan hasil pembelajaran ketika contoh-contoh yang tidak dapat diasumsikan sebagai sampel yang seragam.^[2] Mereka menaikkan ke bagian dalam produk ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } pada ruang fungsi nilai riil { 0 , 1 } n {\displaystyle \{0,1\}^{n}} sebagai berikut:

⟨ f , g ⟩ D = ∑ x ∈ { 0 , 1 } n D ( x ) f ( x ) g ( x ) = E D [ f g ] {\displaystyle \langle f,g\rangle _{\mathcal {D}}=\sum _{x\in \{0,1\}^{n}}{\mathcal {D}}(x)f(x)g(x)=\mathbb {E} _{\mathcal {D}}[fg]}

Produk bagian dalam memberikan hasil naik sesuai norma sebagai berikut:

‖ f ‖ D = ⟨ f , f ⟩ D {\displaystyle \|f\|_{\mathcal {D}}={\sqrt {\langle f,f\rangle _{\mathcal {D}}}}}

Referensi

• Springer, Melvin Dale; Thompson, W. E. (1970). "The distribution of products of beta, gamma and Gaussian random variables". SIAM Journal on Applied Mathematics. 18 (4): 721–737. doi:10.1137/0118065. JSTOR 2099424.
• Springer, Melvin Dale; Thompson, W. E. (1966). "The distribution of products of independent random variables". SIAM Journal on Applied Mathematics. 14 (3): 511–526. doi:10.1137/0114046. JSTOR 2946226.

Catatan kaki