Distribusi Poisson

Poisson
Sumbu aksis adalah indeks k. Fungsi ini hanya didefinisikan untuk bilangan bulat k. Garis penghubung hanya ilustrasi untuk memudahkan.
Fungsi distribusi kumulatif Sumbu aksis adalah indeks k. Fungsi Distribusi Kumulatif diskontinyu pada bilangan bulat k dan lainnya datar, karena variabel yang digunakan adalah bilangan bulat.
Notasi	P o i s ( λ ) {\displaystyle \mathrm {Pois} (\lambda )\,} $\mathrm {Pois} (\lambda )\,$
Parameter	λ > 0 (bilangan asli)
Dukungan	k ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }
Unknown type	λ k k ! ⋅ e − λ {\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot e^{-\lambda }} ${\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot e^{-\lambda }$
CDF	Γ ( ⌊ k + 1 ⌋ , λ ) ⌊ k ⌋ ! {\displaystyle {\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}\!} ${\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}\!$ untuk k ≥ 0 {\displaystyle k\geq 0} $k\geq 0$ or e − λ ∑ i = 0 k λ i i ! {\displaystyle e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{k}{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\ } $e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{k}{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\$ (dimana Γ ( x , y ) {\displaystyle \Gamma (x,y)\,\!} $\Gamma (x,y)\,\!$ adalah fungsi gamma inkomplit dan ⌊ k ⌋ {\displaystyle \lfloor k\rfloor } $\lfloor k\rfloor$ adalah fungsi pembulatan ke bawah)
Mean	λ {\displaystyle \lambda \,\!} $\lambda \,\!$
Median	≈ ⌊ λ + 1 / 3 − 0.02 / λ ⌋ {\displaystyle \approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor } $\approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor$
Modus	⌈ λ ⌉ − 1 {\displaystyle \lceil \lambda \rceil -1} $\lceil \lambda \rceil -1$
Unknown type	λ {\displaystyle \lambda \,\!} $\lambda \,\!$
Skewness	λ − 1 / 2 {\displaystyle \lambda ^{-1/2}\,} $\lambda ^{-1/2}\,$
Ex. kurtosis	λ − 1 {\displaystyle \lambda ^{-1}\,} $\lambda ^{-1}\,$
Entropi	λ [ 1 − log ⁡ ( λ ) ] + e − λ ∑ k = 0 ∞ λ k log ⁡ ( k ! ) k ! {\displaystyle \lambda [1\!-\!\log(\lambda )]\!+\!e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}} $\lambda [1\!-\!\log(\lambda )]\!+\!e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}$ (for large λ {\displaystyle \lambda } $\lambda$ ) 1 2 log ⁡ ( 2 π e λ ) − 1 12 λ − 1 24 λ 2 − {\displaystyle {\frac {1}{2}}\log(2\pi e\lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-} ${\frac {1}{2}}\log(2\pi e\lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-$ 19 360 λ 3 + O ( 1 λ 4 ) {\displaystyle {\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O({\frac {1}{\lambda ^{4}}})} ${\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O({\frac {1}{\lambda ^{4}}})$
MGF	exp ⁡ ( λ ( e t − 1 ) ) {\displaystyle \exp(\lambda (e^{t}-1))\,} $\exp(\lambda (e^{t}-1))\,$
CF	exp ⁡ ( λ ( e i t − 1 ) ) {\displaystyle \exp(\lambda (e^{it}-1))\,} $\exp(\lambda (e^{it}-1))\,$

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Poisson (dilafalkan [pwasɔ̃]) adalah distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir. (distribusi Poisson juga dapat digunakan untuk jumlah kejadian pada interval tertentu seperti jarak, luas, atau volume).

Distribusi ini pertama kali diperkenalkan oleh Siméon-Denis Poisson (1781–1840) dan diterbitkan, bersama teori probabilitasnya, pada tahun 1838 dalam karyanyaRecherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (“Penelitian Probabilitas Hukum Masalah Pidana dan Perdata”). Karyanya memfokuskan peubah acak N yang menghitung antara lain jumlah kejadian diskret (kadang juga disebut "kedatangan") yang terjadi selama interval waktu tertentu.

Definisi

Apabila nilai harapan kejadian pada suatu interval adalah λ {\displaystyle \lambda } $\lambda$ , maka probabilitas terjadi peristiwa sebanyak k kali (k adalah bilangan bulat non negatif, k = 0, 1, 2, ...) maka sama dengan

f ( k ; λ ) = λ k e − λ k ! , {\displaystyle f(k;\lambda )={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},\,\!} $f(k;\lambda )={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},\,\!$

di mana

e adalah basis logaritma natural (e = 2.71828...)
k adalah jumlah kejadian suatu peristiwa — peluang yang diberikan oleh fungsi ini
k! adalah faktorial dari k
λ adalah bilangan riil positif, sama dengan nilai harapan peristiwa yang terjadi dalam interval tertentu. Misalnya, peristiwa yang terjadi rata-rata 4 kali per menit, dan akan dicari probabilitas terjadi peristiwa k kali dalam interval 10 menit, digunakan distribusi Poisson sebagai model dengan λ = 10×4 = 40.

Sebagai fungsi k, ini disebut fungsi massa probabilitas. Distribusi Poisson dapat diturunkan sebagai kasus terbatas distribusi binomial. Distribusi Poisson dapat diterapkan pada sistem dengan kejadian berjumlah besar yang yang mungkin terjadi, yang mana kenyataannya cukup jarang. Contoh klasik adalah peluruhan nuklir atom.

Referensi

Donald E. Knuth (1969). Seminumerical Algorithms. The Art of Computer Programming, Volume 2. Addison Wesley.
Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter (1974). "Computer Methods for Sampling from Gamma, Beta, Poisson and Binomial Distributions". Computing. 12 (3): 223–246. doi:10.1007/BF02293108.
Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter (1982). "Computer Generation of Poisson Deviates". ACM Transactions on Mathematical Software. 8 (2): 163–179. doi:10.1145/355993.355997.
Ronald J. Evans, J. Boersma, N. M. Blachman, A. A. Jagers (1988). "The Entropy of a Poisson Distribution: Problem 87-6". SIAM Review. 30 (2): 314–317. doi:10.1137/1030059.{{cite journal}}: Pemeliharaan CS1: Banyak nama: daftar penulis (link)