Bilangan imajiner

... (ulangi pola ini
dari area biru)

i⁻³ = i

i⁻² = −1

i⁻¹ = −i

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = −1

i³ = −i

i⁴ = 1

i⁵ = i

i⁶ = −1

iⁿ = i^{n(mod 4)}
(lihat modulus)

Bilangan imajiner atau bilangan khayal^[1] (bahasa Inggris:imaginary number), biasa dilambangkan dengan i, dan didefinisikan sebagai

i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} $i={\sqrt {-1}}$ atau secara ekuivalen i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

Bilangan ini merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, (bagian) bilangan imajiner i {\displaystyle i} $i$ diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik:

x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0\ } $x^{2}+1=0\$

atau secara ekuivalen

x 2 = − 1 ⟹ x = − 1 {\displaystyle x^{2}=-1\implies x={\sqrt {-1}}} $x^{2}=-1\implies x={\sqrt {-1}}$ .

Bilangan imajiner dan/atau bilangan kompleks ini sering dipakai di berbagai bidang, seperti teknik elektro dan elektronika untuk menggambarkan sifat arus AC (listrik arus bolak-balik) atau untuk menganalisis gelombang fisika yang menjalar ke arah sumbu x mengikuti:

e i ( k x − ω t ) = e j ( ω t − k x ) {\displaystyle e^{i(kx-\omega t)}=e^{j(\omega t-kx)}\,} $e^{i(kx-\omega t)}=e^{j(\omega t-kx)}\,$ ), dengan j = −i.

Selain itu, bilangan imajiner juga muncul di mekanika kuantum, seperti pada Persamaan Schrödinger, pengolahan sinyal, dan masih banyak lagi. Salah satu yang menyebabkan bilangan imajiner muncul dan digunakan di mana-mana adalah sifatnya yang mempunyai fase atau periode, sehingga dapat digunakan untuk memodelkan objek yang memiliki periode.

Penafsiran geometri

Dalam geometri, bilangan imajiner dilambangkan sebagai titik-titik pada sumbu vertikal pada bidang bilangan kompleks, digambarkan secara tegak lurus terhadap sumbu bilangan real. Satu cara untuk melihat bilangan-bilangan imajiner adalah dengan membayangkan suatu garis bilangan, bertambah secara positif ke sebelah kanan dan bertambah negatif ke sebelah kiri, kemudian pada titik nol "O" garis yang dapat dipandang sebagai sumbu-x, suatu sumbu-y dapat digambarkan sebagai suatu garis tegak lurus yang bertambah "positif" (bilangan imajiner bertambah positif) ke arah atas, dan bertambah negatif (demikian pula dengan bilangan imajiner) ke arah bawah. Sumbu vertikal ini sering disebut "sumbu bilangan imajiner" dan dilambangkan dengan iℝ, I {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {I} } $\scriptstyle \mathbb {I}$ , atau ℑ.

Dalam representasi ini, perkalian dengan –1 berhubungan dengan suatu rotasi 180 derajat mengelilingi titik nol. Perkalian dengan i berhubungan dengan rotasi 90 derajat pada arah "positif" (yaitu, berlawanan dengan jarum jam), dan persamaan i² = −1 ditafsirkan sebagai pernyataan bahwa jika diterapkan dua rotasi 90 derajat mengelilingi titik nol, maka hasil akhirnya adalah suatu rotasi tunggal 180 derajat. Perhatian bahwa rotasi 90 derajat pada arah "negatif" (yaitu searah jarum jam) juga memenuhi penafsiran ini. Hal ini mencerminkan fakta bahwa −i juga memecahkan persamaan x² = −1. Pada umumnya, perkalian dengan suatu bilangan kompleks sama dengan rotasi mengelilingi titik nol oleh argument bilangan kompleks itu, diikuti dengan perubahan skala besarannya.

Perkalian akar kuadrat

Perkalian akar kuadrat bilangan negatif perlu perhatian khusus. Misalnya,^[2] pemikiran berikut ini salah:

− 1 = i 2 = − 1 − 1 = ( − 1 ) ( − 1 ) = 1 = 1 {\displaystyle -1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1} $-1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1$

Kekeliruan (fallacy) yang diperbuat adalah penggunaan aturan √x√y = √xy, di mana nilai prinsip akar kuadrat dihitung setiap kali, sebenarnya hanya valid jika x dan y dibatasi dengan sepatutnya.^{[note 1]} Tidak mungkin untuk mengembangkan definisi nilai prinsip akar kuadrat pada semua bilangan kompleks dengan cara aturan perkalian biasa. Jadi √−1 dalam konteks ini harus dianggap "tidak berarti", atau sebagai ekspresi bernilai ganda dengan kemungkinan nilai i dan −i.

Lihat pula

Portal matematika

Catatan

↑ Bilamana akar kuadrat prinsip didefinisikan di dalam rentang (−π/2, π/2] dan Arg dalam (−π, π], suatu batasan (constraint) sepatutnya adalah −π < Arg(x) + Arg(y) ≤ π atau xy = 0.

Referensi

↑ "Arti kata bilangan khayal". Badan Pengembangan dan Pembinaan Bahasa, Kemendikbud. KBBI Daring. Diakses tanggal 17 Maret 2023.
↑ Maxwell, E. A. (1959), Fallacies in mathematics, Cambridge University Press, MR 0099907. Chapter VI, §I.2