Bilangan Mersenne

Ada usul agar artikel ini digabungkan ke Bilangan prima Mersenne. (Diskusikan) Diusulkan sejak Agustus 2026.

Dalam matematika, bilangan Mersenne adalah bilangan bulat positif yang bernilai satu kurang dari perpangkatan dua, dinyatakan dalam rumus M n = 2 n − 1 {\displaystyle M_{n}=2^{n}-1} $M_{n}=2^{n}-1$ dengan n {\displaystyle n} $n$ berupa bilangan bulat positif.^[1] Nama bilangan ini diambil dari Marin Mersenne, seorang biarawan dan matematikawan asal Prancis pada abad ke-17 yang mengkaji sifat-sifat eksponensialnya.^[2]

Definisi dan sifat dasar

Barisan bilangan Mersenne dimulai dari nilai n = 1 {\displaystyle n=1} $n=1$ :

M 1 = 1 , M 2 = 3 , M 3 = 7 , M 4 = 15 , M 5 = 31 , M 6 = 63 , … {\displaystyle M_{1}=1,M_{2}=3,M_{3}=7,M_{4}=15,M_{5}=31,M_{6}=63,\dots } $M_{1}=1,M_{2}=3,M_{3}=7,M_{4}=15,M_{5}=31,M_{6}=63,\dots$

Apabila n {\displaystyle n} $n$ merupakan bilangan komposit, maka M n {\displaystyle M_{n}} $M_{n}$ dipastikan juga bernilai komposit. Hal ini dibuktikan melalui identitas aljabar faktorisasi:

2 a b − 1 = ( 2 a − 1 ) ( 1 + 2 a + 2 2 a + ⋯ + 2 ( b − 1 ) a ) {\displaystyle 2^{ab}-1=(2^{a}-1)\left(1+2^{a}+2^{2a}+\dots +2^{(b-1)a}\right)} $2^{ab}-1=(2^{a}-1)\left(1+2^{a}+2^{2a}+\dots +2^{(b-1)a}\right)$

Oleh karena itu, syarat mutlak (meskipun belum cukup) agar M n {\displaystyle M_{n}} $M_{n}$ dapat bernilai prima adalah eksponen n {\displaystyle n} $n$ itu sendiri harus berupa bilangan prima.

Bilangan prima Mersenne

Jika M n {\displaystyle M_{n}} $M_{n}$ menghasilkan bilangan prima, maka angka tersebut dinamakan bilangan prima Mersenne.^[3] Meskipun eksponen p {\displaystyle p} $p$ berupa bilangan prima, hasil M p {\displaystyle M_{p}} $M_{p}$ tidak selalu prima.

Prima Mersenne awal:
- n = 2 ⟹ M 2 = 3 {\displaystyle n=2\implies M_{2}=3} $n=2\implies M_{2}=3$
- n = 3 ⟹ M 3 = 7 {\displaystyle n=3\implies M_{3}=7} $n=3\implies M_{3}=7$
- n = 5 ⟹ M 5 = 31 {\displaystyle n=5\implies M_{5}=31} $n=5\implies M_{5}=31$
- n = 7 ⟹ M 7 = 127 {\displaystyle n=7\implies M_{7}=127} $n=7\implies M_{7}=127$
Contoh komposit dengan eksponen prima:
- Untuk n = 11 {\displaystyle n=11} $n=11$ , diperoleh M 11 = 2 11 − 1 = 2047 = 23 × 89 {\displaystyle M_{11}=2^{11}-1=2047=23\times 89} $M_{11}=2^{11}-1=2047=23\times 89$ .

Hubungan dengan bilangan sempurna

Berdasarkan Teorema Euclid–Euler, terdapat hubungan korespondensi satu-ke-satu antara bilangan prima Mersenne dan bilangan sempurna genap (bilangan yang jumlah pembagi sejatinya sama dengan bilangan itu sendiri).^[4] Suatu bilangan genap bersifat sempurna jika dan hanya jika dapat dituliskan sebagai:

N = 2 p − 1 ( 2 p − 1 ) {\displaystyle N=2^{p-1}(2^{p}-1)} $N=2^{p-1}(2^{p}-1)$

di mana 2 p − 1 {\displaystyle 2^{p}-1} $2^{p}-1$ merupakan bilangan prima Mersenne.

Pengujian dan pencarian

Pengujian primalitas untuk bentuk 2 p − 1 {\displaystyle 2^{p}-1} $2^{p}-1$ dapat dilakukan jauh lebih cepat dibanding bilangan biasa berukuran sama menggunakan Uji primalitas Lucas–Lehmer.^[5] Karena efisiensi algoritma ini, rekor bilangan prima terbesar yang diketahui manusia hampir selalu berupa bilangan prima Mersenne.

Sebagian besar penemuan prima Mersenne modern dilakukan melalui proyek komputasi terdistribusi global bernama Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS).

Referensi

↑ Weisstein, Eric W. "Mersenne Number". MathWorld.
↑ Caldwell, Chris. "Mersenne Primes: History, Theorems and Lists". The Prime Pages.
↑ "GIMPS Project Discoveries". Great Internet Mersenne Prime Search.
↑ Burton, David M. (2010). Elementary Number Theory. McGraw-Hill. hlm. 223–226. ISBN 978-0073383095.
↑ Weisstein, Eric W. "Lucas-Lehmer Test". MathWorld.