Pertidaksamaan

Pertidaksamaan dalam matematika adalah kalimat/pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih. Dua notasi dasar dalam pertidaksamaan adalah:

Notasi pertidaksamaan

Notasi	Arti	Contoh
<	lebih kecil kurang dari	2 < 3 x + 1 < 3
>	lebih besar lebih dari	3 > 2 3x + 1 > 5
≤	lebih kecil atau sama dengan batas dibawah maksimum maksimal sebanyaknya paling banyak tidak lebih dari sekurangnya	2 ≤ 3 x + 1 ≤ 3
≥	lebih besar atau sama dengan batas diatas minimum minimal sesedikitnya paling sedikit tidak kurang dari selebihnya	3 ≥ 2 3x + 1 ≥ 5
≠	tidak sama dengan	2 ≠ 3 x + 1 ≠ 3
a < x < b	di antara a dan b	2 < x < 5
a ≤ x < b	di antara a dan b bila ada a	2 ≤ x < 5
a < x ≤ b	di antara a dan b bila ada b	2 < x ≤ 5
a ≤ x ≤ b	di antara a dan b bila ada a dan b	2 ≤ x ≤ 5
x < a v x > b	kurang dari a atau lebih dari b	x < 2 v x > 5
x ≤ a v x > b	maksimal a atau lebih dari b	x ≤ 2 v x < 5
x < a v x ≥ b	kurang dari a atau minimal b	x < 2 v x ≥ 5
x ≤ a v x ≥ b	maksimal a atau minimal b	x ≤ 2 v x ≥ 5

Jenis-jenis pertidaksamaan

Pertidaksamaan Linear

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan 6 x − 7 < 5 x + 3 {\displaystyle 6x-7<5x+3} !

6 x − 7 < 5 x + 3 {\displaystyle 6x-7<5x+3}

6 x − 5 x < 3 + 7 {\displaystyle 6x-5x<3+7}

x < 10 {\displaystyle x<10}

H P = { x | x < 10 , x ∈ R } {\displaystyle HP=\{x|x<10,x\in R\}}

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan 5 − 2 x ≥ 4 x − 1 {\displaystyle 5-2x\geq 4x-1} !

5 − 2 x ≥ 4 x − 1 {\displaystyle 5-2x\geq 4x-1}

− 2 x − 4 x ≥ − 1 − 5 {\displaystyle -2x-4x\geq -1-5}

− 6 x ≥ − 6 {\displaystyle -6x\geq -6} (karena nilai negatif maka tanda harus terbalik)

x ≤ 1 {\displaystyle x\leq 1}

H P = { x | x ≤ 1 , x ∈ R } {\displaystyle HP=\{x|x\leq 1,x\in R\}}

Pertidaksamaan Kuadrat

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan x 2 − 7 x > 10 − 4 x {\displaystyle x^{2}-7x>10-4x} !

x 2 − 7 x > 10 − 4 x {\displaystyle x^{2}-7x>10-4x}

x 2 − 3 x − 10 > 0 {\displaystyle x^{2}-3x-10>0}

dibuat harga nol

x 2 − 3 x − 10 = 0 {\displaystyle x^{2}-3x-10=0}

( x + 2 ) ( x − 5 ) = 0 {\displaystyle (x+2)(x-5)=0}

x = − 2 ∨ x = 5 {\displaystyle x=-2\lor x=5}

dibuat irisan

	-2		5
+++	—N/a	----	—N/a	+++

H P = { x | x < − 2 ∨ x > 5 , x ∈ R } {\displaystyle HP=\{x|x<-2\lor x>5,x\in R\}}

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan 2 − x 2 ≤ x − 10 {\displaystyle 2-x^{2}\leq x-10} !

2 − x 2 ≤ x − 10 {\displaystyle 2-x^{2}\leq x-10}

x 2 + x − 12 ≥ 0 {\displaystyle x^{2}+x-12\geq 0}

dibuat harga nol

x 2 + x − 12 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-12=0}

( x + 4 ) ( x − 3 ) = 0 {\displaystyle (x+4)(x-3)=0}

x = − 4 ∨ x = 3 {\displaystyle x=-4\lor x=3}

dibuat irisan

	(-4)		(3)
+++	—N/a	----	—N/a	+++

H P = { x | x ≤ − 4 ∨ x ≥ 3 , x ∈ R } {\displaystyle HP=\{x|x\leq -4\lor x\geq 3,x\in R\}}

Pertidaksamaan Irasional

Dalam bentuk pertidaksamaan irasional sebagai berikut:

f ( x ) < g ( x ) {\displaystyle {\sqrt {f(x)}}<{\sqrt {g(x)}}} atau f ( x ) > g ( x ) {\displaystyle {\sqrt {f(x)}}>{\sqrt {g(x)}}}

kuadratkan kedua sisinya akan menjadi f ( x ) < g ( x ) {\displaystyle f(x)<g(x)} atau f ( x ) > g ( x ) {\displaystyle f(x)>g(x)} serta haruslah mempunyai syarat yaitu f(x) ≥ 0 dan g(x) ≥ 0.

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan x 2 − 4 x < 10 − x {\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4x}}<{\sqrt {10-x}}} !

x 2 − 4 x < 10 − x {\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4x}}<{\sqrt {10-x}}}

( x 2 − 4 x ) 2 < ( 10 − x ) 2 {\displaystyle ({\sqrt {x^{2}-4x}})^{2}<({\sqrt {10-x}})^{2}}

x 2 − 4 x < 10 − x {\displaystyle x^{2}-4x<10-x}

x 2 − 3 x − 10 < 0 {\displaystyle x^{2}-3x-10<0}

Irisan 1

x 2 − 3 x − 10 < 0 {\displaystyle x^{2}-3x-10<0}

dibuat harga nol

x 2 − 3 x − 10 = 0 {\displaystyle x^{2}-3x-10=0}

( x + 2 ) ( x − 5 ) = 0 {\displaystyle (x+2)(x-5)=0}

x = − 2 ∨ x = 5 {\displaystyle x=-2\lor x=5}

karena ada syarat akar maka:

Irisan 2

x 2 − 4 x ≥ 0 {\displaystyle x^{2}-4x\geq 0}

dibuat harga nol

x 2 − 4 x = 0 {\displaystyle x^{2}-4x=0}

x ( x − 4 ) = 0 {\displaystyle x(x-4)=0}

x = 0 ∨ x = 4 {\displaystyle x=0\lor x=4}

Irisan 3

10 − x ≥ 0 {\displaystyle 10-x\geq 0}

x ≤ 10 {\displaystyle x\leq 10}

gabungkan umum dan syarat

Irisan		-2		(0)		(4)		5		(10)
pertama	tidak	—N/a	ya	—N/a	ya	—N/a	ya	—N/a	tidak	—N/a	tidak
kedua	ya	—N/a	ya	—N/a	tidak	—N/a	ya	—N/a	ya	—N/a	ya
ketiga	ya	—N/a	ya	—N/a	ya	—N/a	ya	—N/a	ya	—N/a	tidak

H P = { x | − 2 < x ≤ 0 ∨ 4 ≤ x < 5 , x ∈ R } {\displaystyle HP=\{x|-2<x\leq 0\lor 4\leq x<5,x\in R\}}

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan x 2 − 4 ≥ 3 x + 50 {\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4}}\geq {\sqrt {3x+50}}} !

x 2 − 4 ≥ 3 x + 50 {\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4}}\geq {\sqrt {3x+50}}}

( x 2 − 4 ) 2 ≥ ( 3 x + 50 ) 2 {\displaystyle ({\sqrt {x^{2}-4}})^{2}\geq ({\sqrt {3x+50}})^{2}}

x 2 − 4 ≥ 3 x + 50 {\displaystyle x^{2}-4\geq 3x+50}

x 2 − 3 x − 54 ≥ 0 {\displaystyle x^{2}-3x-54\geq 0}

Irisan 1

x 2 − 3 x − 54 ≥ 0 {\displaystyle x^{2}-3x-54\geq 0}

dibuat harga nol

x 2 − 3 x − 54 = 0 {\displaystyle x^{2}-3x-54=0}

( x + 6 ) ( x − 9 ) = 0 {\displaystyle (x+6)(x-9)=0}

x = − 6 ∨ x = 9 {\displaystyle x=-6\lor x=9}

karena ada syarat akar maka:

Irisan 2

x 2 − 4 ≥ 0 {\displaystyle x^{2}-4\geq 0}

dibuat harga nol

x 2 − 4 = 0 {\displaystyle x^{2}-4=0}

( x + 2 ) ( x − 2 ) = 0 {\displaystyle (x+2)(x-2)=0}

x = − 2 ∨ x = 2 {\displaystyle x=-2\lor x=2}

Irisan 3

3 x + 50 ≥ 0 {\displaystyle 3x+50\geq 0}

x ≥ − 50 3 {\displaystyle x\geq -{\frac {50}{3}}}

gabungkan umum dan syarat

Irisan		(-50/3)		(-6)		(-2)		(2)		(9)
pertama	ya	—N/a	ya	—N/a	tidak	—N/a	tidak	—N/a	tidak	—N/a	ya
kedua	ya	—N/a	ya	—N/a	ya	—N/a	tidak	—N/a	ya	—N/a	ya
ketiga	tidak	—N/a	ya	—N/a	ya	—N/a	ya	—N/a	ya	—N/a	ya

H P = { x | − 50 3 ≤ x ≤ − 6 ∨ x ≥ 9 , x ∈ R } {\displaystyle HP=\{x|{\frac {-50}{3}}\leq x\leq -6\lor x\geq 9,x\in R\}}

Pertidaksamaan Pecahan

Dalam bentuk pertidaksamaan pecahan sebagai berikut:

f ( x ) g ( x ) ∗ 0 {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}*0}

di mana f ( x ) , g ( x ) {\displaystyle f(x),g(x)} adalah fungsi aljabar dengan g ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g(x)\neq 0} dan ∗ {\displaystyle *} merepresentasikan notasi pertidaksamaan.

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan x − 4 x − 3 < x + 1 x − 2 {\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}<{\frac {x+1}{x-2}}} !

x − 4 x − 3 < x + 1 x − 2 {\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}<{\frac {x+1}{x-2}}}

x − 4 x − 3 − x + 1 x − 2 < 0 {\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}-{\frac {x+1}{x-2}}<0}

( x − 4 ) ( x − 2 ) − ( x + 1 ) ( x − 3 ) ( x − 3 ) ( x − 2 ) < 0 {\displaystyle {\frac {(x-4)(x-2)-(x+1)(x-3)}{(x-3)(x-2)}}<0}

( x 2 − 6 x + 8 ) − ( x 2 − 2 x − 3 ) ( x − 3 ) ( x − 2 ) < 0 {\displaystyle {\frac {(x^{2}-6x+8)-(x^{2}-2x-3)}{(x-3)(x-2)}}<0}

− 4 x + 11 ( x − 3 ) ( x − 2 ) < 0 {\displaystyle {\frac {-4x+11}{(x-3)(x-2)}}<0}

− 4 x + 11 < 0 {\displaystyle -4x+11<0}

x < 11 4 {\displaystyle x<{\frac {11}{4}}}

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1

x − 3 ≠ 0 {\displaystyle x-3\neq 0}

x ≠ 3 {\displaystyle x\neq 3}

penyebut 2

x − 2 ≠ 0 {\displaystyle x-2\neq 0}

x ≠ 2 {\displaystyle x\neq 2}

dibuat irisan

	2		11/4		3
+++	—N/a	----	—N/a	+++	—N/a	----

H P = { x | 2 < x < 11 4 ∨ x > 3 , x ∈ R } {\displaystyle HP=\{x|2<x<{\frac {11}{4}}\lor x>3,x\in R\}}

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan x + 6 x + 17 ≥ 1 x − 3 {\displaystyle {\frac {x+6}{x+17}}\geq {\frac {1}{x-3}}} !

x + 6 x + 17 ≥ 1 x − 3 {\displaystyle {\frac {x+6}{x+17}}\geq {\frac {1}{x-3}}}

x + 6 x + 17 − 1 x − 3 ≥ 0 {\displaystyle {\frac {x+6}{x+17}}-{\frac {1}{x-3}}\geq 0}

( x + 6 ) ( x − 3 ) − ( x + 17 ) ( x + 17 ) ( x − 3 ) ≥ 0 {\displaystyle {\frac {(x+6)(x-3)-(x+17)}{(x+17)(x-3)}}\geq 0}

x 2 + 3 x − 18 − x − 17 ( x + 17 ) ( x − 3 ) ≥ 0 {\displaystyle {\frac {x^{2}+3x-18-x-17}{(x+17)(x-3)}}\geq 0}

x 2 + 2 x − 35 ( x − 3 ) ( x − 2 ) ≥ 0 {\displaystyle {\frac {x^{2}+2x-35}{(x-3)(x-2)}}\geq 0}

x 2 + 2 x − 35 ≥ 0 {\displaystyle x^{2}+2x-35\geq 0}

dibuat harga nol

x 2 + 2 x − 35 = 0 {\displaystyle x^{2}+2x-35=0}

( x + 7 ) ( x − 5 ) = 0 {\displaystyle (x+7)(x-5)=0}

x = − 7 ∨ x = 5 {\displaystyle x=-7\lor x=5} (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1

x + 17 ≠ 0 {\displaystyle x+17\neq 0}

x ≠ − 17 {\displaystyle x\neq -17}

penyebut 2

x − 3 ≠ 0 {\displaystyle x-3\neq 0}

x ≠ 3 {\displaystyle x\neq 3}

dibuat irisan

	-17		(-7)		3		(5)
+++	—N/a	----	—N/a	+++	—N/a	----	—N/a	+++

H P = { x | x < − 17 ∨ − 7 ≤ x < 3 ∨ x ≥ 5 , x ∈ R } {\displaystyle HP=\{x|x<-17\lor -7\leq x<3\lor x\geq 5,x\in R\}}

Pertidaksamaan Mutlak

Dalam bentuk pertidaksamaan mutlak sebagai berikut:

Model I

| f ( x ) | < k {\displaystyle |f(x)|<k} atau | f ( x ) | > k {\displaystyle |f(x)|>k}

haruslah mempunyai dua nilai yaitu

| f ( x ) | = { | f ( x ) | < k , maka penyelesaian − k < f ( x ) < k | f ( x ) | > k , maka penyelesaian f ( x ) < − k ∨ f ( x ) > k {\displaystyle |f(x)|=\left\{{\begin{matrix}|f(x)|<k,&{\mbox{maka penyelesaian}}-k<f(x)<k\\\\|f(x)|>k,&{\mbox{maka penyelesaian}}f(x)<-k\lor f(x)>k\end{matrix}}\right.}

Model II

Jika | f ( x ) | < | g ( x ) | {\displaystyle |f(x)|<|g(x)|} atau | f ( x ) | > | g ( x ) | {\displaystyle |f(x)|>|g(x)|} maka kuadratkan kedua sisi tersebut akan menjadi [ f ( x ) ] 2 − [ g ( x ) ] 2 < 0 {\displaystyle [f(x)]^{2}-[g(x)]^{2}<0} atau [ f ( x ) ] 2 − [ g ( x ) ] 2 > 0 {\displaystyle [f(x)]^{2}-[g(x)]^{2}>0} .

Model III

Jika a < | f ( x ) | < b {\displaystyle a<|f(x)|<b} maka menghasilkan a < | f ( x ) | < b {\displaystyle a<|f(x)|<b} dan − b < | f ( x ) | < − a {\displaystyle -b<|f(x)|<-a} .

begitupula g ( x ) < | f ( x ) | < h ( x ) {\displaystyle g(x)<|f(x)|<h(x)} .

Model IV

Jika | f ( x ) | {\displaystyle |f(x)|} terkurung maka f(x) menghasilkan f ( x ) ≥ 0 {\displaystyle f(x)\geq 0} serta -f(x) menghasilkan f ( x ) < 0 {\displaystyle f(x)<0} .

Pertidaksamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan - karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan | x 2 + x | < 12 {\displaystyle |x^{2}+x|<12} !

| x 2 + x | < 12 {\displaystyle |x^{2}+x|<12}

karena f(x) < g(x) maka penyelesaian -g(x) < f(x) < g(x)

− 12 < x 2 + x < 12 {\displaystyle -12<x^{2}+x<12}

untuk − 12 < x 2 + x {\displaystyle -12<x^{2}+x}

− 12 < x 2 + x {\displaystyle -12<x^{2}+x}

x 2 + x + 12 > 0 {\displaystyle x^{2}+x+12>0} definit +

untuk x 2 + x < 12 {\displaystyle x^{2}+x<12}

x 2 + x < 12 {\displaystyle x^{2}+x<12}

x 2 + x − 12 < 0 {\displaystyle x^{2}+x-12<0}

dibuat harga nol

x 2 + x − 12 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-12=0}

( x + 4 ) ( x − 3 ) < 0 {\displaystyle (x+4)(x-3)<0}

x = − 4 ∨ x = 3 {\displaystyle x=-4\lor x=3}

dibuat irisan

	-4		3
+++	—N/a	----	—N/a	+++

− 4 < x < 3 {\displaystyle -4<x<3}

H P = { x | − 4 < x < 3 , x ∈ R } {\displaystyle HP=\{x|-4<x<3,x\in R\}}

• Tentukan nilai x dari persamaan | x 2 − 4 x − 12 | − | 7 − 6 x | ≥ 5 {\displaystyle |x^{2}-4x-12|-|7-6x|\geq 5} !

terlebih dahulu untuk mempunyai batas-batas yang ada

untuk | x^2 - 4x - 12 |

| x 2 − 4 x − 12 | = { x 2 − 4 x − 12 , maka penyelesaian x 2 − 4 x − 12 ≥ 0 − ( x 2 − 4 x − 12 ) , maka penyelesaian x 2 − 4 x − 12 < 0 {\displaystyle |x^{2}-4x-12|=\left\{{\begin{matrix}x^{2}-4x-12,&{\mbox{maka penyelesaian}}x^{2}-4x-12\geq 0\\\\-(x^{2}-4x-12),&{\mbox{maka penyelesaian}}x^{2}-4x-12<0\end{matrix}}\right.}

batasan f(x)

x 2 − 4 x − 12 ≥ 0 {\displaystyle x^{2}-4x-12\geq 0}

dibuat harga nol

x 2 − 4 x − 12 = 0 {\displaystyle x^{2}-4x-12=0}

( x + 2 ) ( x − 6 ) = 0 {\displaystyle (x+2)(x-6)=0}

x = − 2 ∨ x = 6 {\displaystyle x=-2\lor x=6}

dibuat irisan

	-2		6
+++	—N/a	----	—N/a	+++

x ≤ − 2 ∨ x ≥ 6 {\displaystyle x\leq -2\lor x\geq 6}

batasan -f(x)

x 2 − 4 x − 12 < 0 {\displaystyle x^{2}-4x-12<0}

dibuat harga nol

x 2 − 4 x − 12 = 0 {\displaystyle x^{2}-4x-12=0}

( x + 2 ) ( x − 6 ) = 0 {\displaystyle (x+2)(x-6)=0}

x = − 2 ∨ x = 6 {\displaystyle x=-2\lor x=6}

dibuat irisan

	-2		6
+++	—N/a	----	—N/a	+++

− 2 < x < 6 {\displaystyle -2<x<6}

untuk | 7 - 6x |

| 7 − 6 x | = { 7 − 6 x , maka penyelesaian 7 − 6 x ≥ 0 − ( 7 − 6 x ) , maka penyelesaian 7 − 6 x < 0 {\displaystyle |7-6x|=\left\{{\begin{matrix}7-6x,&{\mbox{maka penyelesaian}}7-6x\geq 0\\\\-(7-6x),&{\mbox{maka penyelesaian}}7-6x<0\end{matrix}}\right.}

batasan f(x)

7 − 6 x ≥ 0 {\displaystyle 7-6x\geq 0}

x ≤ 7 6 {\displaystyle x\leq {\frac {7}{6}}}

batasan -f(x)

7 − 6 x < 0 {\displaystyle 7-6x<0}

x > 7 6 {\displaystyle x>{\frac {7}{6}}}

keempat batas-batas akan dibuat irisan

irisan		-2		7/6		6
pertama	x^2 - 4x - 12	—N/a		—N/a		—N/a	x^2 - 4x - 12
kedua		—N/a	-(x^2 - 4x - 12)	—N/a	-(x^2 - 4x - 12)	—N/a
ketiga	7 - 6x	—N/a	7 - 6x	—N/a		—N/a
keempat		—N/a		—N/a	-(7 - 6x)	—N/a	-(7 - 6x)

untuk x <= -2

x 2 − 4 x − 12 − ( 7 − 6 x ) ≥ 5 {\displaystyle x^{2}-4x-12-(7-6x)\geq 5}

x 2 − 4 x − 12 − 7 + 6 x − 5 ≥ 0 {\displaystyle x^{2}-4x-12-7+6x-5\geq 0}

x 2 + 2 x − 24 ≥ 0 {\displaystyle x^{2}+2x-24\geq 0}

dibuat harga nol

x 2 + 2 x − 24 = 0 {\displaystyle x^{2}+2x-24=0}

( x + 6 ) ( x − 4 ) = 0 {\displaystyle (x+6)(x-4)=0}

x = − 6 ∨ x = 4 {\displaystyle x=-6\lor x=4}

dibuat irisan

	(-6)		(-2)		(4)
Ya	—N/a	Ya	—N/a	Tidak	—N/a	Tidak
+++	—N/a	----	—N/a	----	—N/a	+++

x ≤ − 6 {\displaystyle x\leq -6}

untuk -2 < x <= 7/6

− ( x 2 − 4 x − 12 ) − ( 7 − 6 x ) ≥ 5 {\displaystyle -(x^{2}-4x-12)-(7-6x)\geq 5}

− x 2 + 4 x + 12 − 7 + 6 x − 5 ≥ 0 {\displaystyle -x^{2}+4x+12-7+6x-5\geq 0}

x 2 − 10 x ≤ 0 {\displaystyle x^{2}-10x\leq 0}

dibuat harga nol

x 2 − 10 x = 0 {\displaystyle x^{2}-10x=0}

x ( x − 10 ) = 0 {\displaystyle x(x-10)=0}

x = 0 ∨ x = 10 {\displaystyle x=0\lor x=10}

dibuat irisan

	-2		(0)		(7/6)		(10)
Tidak	—N/a	Ya	—N/a	Ya	—N/a	Tidak	—N/a	Tidak
+++	—N/a	+++	—N/a	----	—N/a	----	—N/a	+++

0 ≤ x ≤ 7 6 {\displaystyle 0\leq x\leq {\frac {7}{6}}}

untuk 7/6 < x < 6

− ( x 2 − 4 x − 12 ) − ( − ( 7 − 6 x ) ) ≥ 5 {\displaystyle -(x^{2}-4x-12)-(-(7-6x))\geq 5}

− x 2 + 4 x + 12 + 7 − 6 x − 5 ≥ 0 {\displaystyle -x^{2}+4x+12+7-6x-5\geq 0}

x 2 + 2 x ≤ 0 {\displaystyle x^{2}+2x\leq 0}

dibuat harga nol

x 2 + 2 x = 0 {\displaystyle x^{2}+2x=0}

x ( x + 2 ) = 0 {\displaystyle x(x+2)=0}

x = 0 ∨ x = − 2 {\displaystyle x=0\lor x=-2}

dibuat irisan

	(-2)		(0)		7/6		6
Tidak	—N/a	Tidak	—N/a	Tidak	—N/a	Ya	—N/a	Tidak
+++	—N/a	----	—N/a	+++	—N/a	+++	—N/a	+++

∅ {\displaystyle \varnothing }

untuk x >= 6

x 2 − 4 x − 12 − ( − ( 7 − 6 x ) ) ≥ 5 {\displaystyle x^{2}-4x-12-(-(7-6x))\geq 5}

x 2 − 4 x − 12 + 7 − 6 x − 5 ≥ 0 {\displaystyle x^{2}-4x-12+7-6x-5\geq 0}

x 2 − 10 x − 10 ≥ 0 {\displaystyle x^{2}-10x-10\geq 0} definit +

∅ {\displaystyle \varnothing }

gabungkan keempat batas-batas (sesuai dengan himpunan gabungan). jadi:

H P = { x | x ≤ − 6 ∨ 0 ≤ x ≤ 7 6 , x ∈ R } {\displaystyle HP=\{x|x\leq -6\lor 0\leq x\leq {\frac {7}{6}},x\in R\}}

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan | x + 4 10 − x | < | 1 x − 2 | {\displaystyle |{\frac {x+4}{10-x}}|<|{\frac {1}{x-2}}|} !

| x + 4 10 − x | < | 1 x − 2 | {\displaystyle |{\frac {x+4}{10-x}}|<|{\frac {1}{x-2}}|}

( x + 4 10 − x ) 2 < ( 1 x − 2 ) 2 {\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}})^{2}<({\frac {1}{x-2}})^{2}}

( x + 4 10 − x ) 2 − ( 1 x − 2 ) 2 < 0 {\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}})^{2}-({\frac {1}{x-2}})^{2}<0}

( x + 4 10 − x + 1 x − 2 ) ( x + 4 10 − x − 1 x − 2 ) < 0 {\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}}+{\frac {1}{x-2}})({\frac {x+4}{10-x}}-{\frac {1}{x-2}})<0}

( ( x + 4 ) ( x − 2 ) + 10 − x ( 10 − x ) ( x − 2 ) ) ( ( x + 4 ) ( x − 2 ) − ( 10 − x ) ( 10 − x ) ( x − 2 ) ) < 0 {\displaystyle ({\frac {(x+4)(x-2)+10-x}{(10-x)(x-2)}})({\frac {(x+4)(x-2)-(10-x)}{(10-x)(x-2)}})<0}

( x 2 + 2 x − 8 + 10 − x ( 10 − x ) ( x − 2 ) ) ( x 2 + 2 x − 8 − 10 + x ( 10 − x ) ( x − 2 ) ) < 0 {\displaystyle ({\frac {x^{2}+2x-8+10-x}{(10-x)(x-2)}})({\frac {x^{2}+2x-8-10+x}{(10-x)(x-2)}})<0}

( x 2 + x + 2 ( 10 − x ) ( x − 2 ) ) ( x 2 + 3 x − 18 ( 10 − x ) ( x − 2 ) ) < 0 {\displaystyle ({\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}})({\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}})<0}

akar dari x 2 + x + 2 ( 10 − x ) ( x − 2 ) {\displaystyle {\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}}}

x 2 + x + 2 ( 10 − x ) ( x − 2 ) < 0 {\displaystyle {\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}}<0}

x 2 + x + 2 = 0 {\displaystyle x^{2}+x+2=0} definit +

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1

10 − x ≠ 0 {\displaystyle 10-x\neq 0}

x ≠ 10 {\displaystyle x\neq 10}

penyebut 2

x − 2 ≠ 0 {\displaystyle x-2\neq 0}

x ≠ 2 {\displaystyle x\neq 2}

akar dari x 2 + 3 x − 18 ( 10 − x ) ( x − 2 ) {\displaystyle {\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}}}

x 2 + 3 x − 18 ( 10 − x ) ( x − 2 ) < 0 {\displaystyle {\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}}<0}

x 2 + 3 x − 18 < 0 {\displaystyle x^{2}+3x-18<0}

dibuat harga nol

x 2 + 3 x − 18 = 0 {\displaystyle x^{2}+3x-18=0}

( x + 6 ) ( x − 3 ) = 0 {\displaystyle (x+6)(x-3)=0}

x = − 6 ∨ x = 3 {\displaystyle x=-6\lor x=3} (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1

10 − x ≠ 0 {\displaystyle 10-x\neq 0}

x ≠ 10 {\displaystyle x\neq 10}

penyebut 2

x − 2 ≠ 0 {\displaystyle x-2\neq 0}

x ≠ 2 {\displaystyle x\neq 2}

dibuat irisan

	-6		2*		3		10*
+++	—N/a	----	—N/a	----	—N/a	+++	—N/a	+++

nb: * = mempunyai 2 akar

H P = { x | − 6 < x < 3 , x ∈ R } {\displaystyle HP=\{x|-6<x<3,x\in R\}}

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan | x 2 − 4 x | ≥ | 3 x − 10 | {\displaystyle |{\sqrt {x^{2}-4x}}|\geq |{\sqrt {3x-10}}|} !

| x 2 − 4 x | ≥ | 3 x − 10 | {\displaystyle |{\sqrt {x^{2}-4x}}|\geq |{\sqrt {3x-10}}|}

( x 2 − 4 x ) 2 ≥ ( 3 x − 10 ) 2 {\displaystyle ({\sqrt {x^{2}-4x}})^{2}\geq ({\sqrt {3x-10}})^{2}}

x 2 − 4 x ≥ 3 x − 10 {\displaystyle x^{2}-4x\geq 3x-10}

x 2 − 7 x + 10 ≥ 0 {\displaystyle x^{2}-7x+10\geq 0}

dibuat harga nol

x 2 − 7 x + 10 = 0 {\displaystyle x^{2}-7x+10=0}

( x − 2 ) ( x − 5 ) = 0 {\displaystyle (x-2)(x-5)=0}

x = 2 ∨ x = 5 {\displaystyle x=2\lor x=5}

dibuat irisan

	2		5
+++	—N/a	----	—N/a	+++

x ≤ 2 ∨ x ≥ 5 {\displaystyle x\leq 2\lor x\geq 5}

karena ada syarat akar maka:

akar 1

x 2 − 4 x ≥ 0 {\displaystyle x^{2}-4x\geq 0}

dibuat harga nol

x 2 − 4 x = 0 {\displaystyle x^{2}-4x=0}

x ( x − 4 ) = 0 {\displaystyle x(x-4)=0}

x = 0 ∨ x = 4 {\displaystyle x=0\lor x=4}

dibuat irisan

	0		4
+++	—N/a	----	—N/a	+++

x ≤ 0 ∨ x ≥ 4 {\displaystyle x\leq 0\lor x\geq 4}

akar 2

3 x − 10 ≥ 0 {\displaystyle 3x-10\geq 0}

x ≥ 10 3 {\displaystyle x\geq {\frac {10}{3}}}

gabungkan umum dan syarat

irisan		(0)		(2)		(10/3)		(4)		(5)
pertama	ya	—N/a	ya	—N/a	tidak	—N/a	tidak	—N/a	tidak	—N/a	ya
kedua	ya	—N/a	tidak	—N/a	tidak	—N/a	tidak	—N/a	ya	—N/a	ya
ketiga	tidak	—N/a	tidak	—N/a	tidak	—N/a	ya	—N/a	ya	—N/a	ya

H P = { x | x ≥ 5 , x ∈ R } {\displaystyle HP=\{x|x\geq 5,x\in R\}}

Pertidaksamaan aritmetika dan geometri

Ada banyak pertidaksamaan antara cara. Contohnya, untuk bilangan positif a₁, a₂, …, a_n kita punya H ≤ G ≤ A ≤ Q, di mana

H = n 1 a 1 + 1 a 2 + ⋯ + 1 a n {\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}	(rata-rata harmonis),
G = a 1 ⋅ a 2 ⋯ a n n {\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}}	(rata-rata geometris),
A = a 1 + a 2 + ⋯ + a n n {\displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}	(rata-rata aritmetika),
Q = a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a n 2 n {\displaystyle Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}	(rata-rata kuadrat).

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa untuk semua vektor u dan v dari ruang hasil kali dalam memang benar bahwa

| ⟨ u , v ⟩ | 2 ≤ ⟨ u , u ⟩ ⋅ ⟨ v , v ⟩ , {\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}

where ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } adalah produk dalam. Contoh produk dalam mencakup produk titik nyata dan kompleks; Di ruang Euklides Rⁿ dengan hasil kali dalam standar, pertidaksamaan Cauchy-Schwarz adalah

( ∑ i = 1 n u i v i ) 2 ≤ ( ∑ i = 1 n u i 2 ) ( ∑ i = 1 n v i 2 ) . {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).}

Pertidaksamaan pangkat

Sebuah "pertidaksamaan pangkat" adalah pertidaksamaan yang mengandung istilah bentuk a^b, di mana a dan b adalah bilangan positif nyata atau ekspresi variabel. Mereka sering muncul dalam latihan olimpiade matematika.

Contoh

• Dari bilangan riil x,

e x ≥ 1 + x . {\displaystyle e^{x}\geq 1+x.}

• Bila x > 0 dan p > 0, maka

x p − 1 p ≥ ln ⁡ ( x ) ≥ 1 − 1 x p p . {\displaystyle {\frac {x^{p}-1}{p}}\geq \ln(x)\geq {\frac {1-{\frac {1}{x^{p}}}}{p}}.}

Dalam batas p → 0, batas atas dan bawah bertemu ln(x).

• Bila x > 0, maka

x x ≥ ( 1 e ) 1 e . {\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.}

• Bila x > 0, maka

x x x ≥ x . {\displaystyle x^{x^{x}}\geq x.}

• Bila x, y, z > 0, maka

( x + y ) z + ( x + z ) y + ( y + z ) x > 2. {\displaystyle \left(x+y\right)^{z}+\left(x+z\right)^{y}+\left(y+z\right)^{x}>2.}

• Untuk bilangan riil a dan b ,

e b − e a b − a > e ( a + b ) / 2 . {\displaystyle {\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.}

• Bila x, y > 0 dan 0 < p < 1, maka

x p + y p > ( x + y ) p . {\displaystyle x^{p}+y^{p}>\left(x+y\right)^{p}.}

• Bila x, y, z > 0, maka

x x y y z z ≥ ( x y z ) ( x + y + z ) / 3 . {\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.}

• Bila a, b > 0, maka^[1]

a a + b b ≥ a b + b a . {\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.}

• Bila a, b > 0, maka^[2]

a e a + b e b ≥ a e b + b e a . {\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.}

• Bila a, b, c > 0, maka

a 2 a + b 2 b + c 2 c ≥ a 2 b + b 2 c + c 2 a . {\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.}

• Bila a, b > 0, maka

a b + b a > 1. {\displaystyle a^{b}+b^{a}>1.}

Pertidaksamaan yang terkenal

Matematikawan sering menggunakan pertidaksamaan untuk jumlah terikat yang rumus eksaknya tidak dapat dihitung dengan mudah. Beberapa ketidaksetaraan begitu sering digunakan sehingga memiliki nama:

Lihat pula

• Hubungan biner
• Biner (matematika), untuk penggunaan tanda <dan ›yang serupa sebagai tanda kurung
• Inklusi (teori himpunan)
• Inequation
• Interval (matematika)
• Daftar pertidaksamaan
• Daftar pertidaksamaan segitiga
• Himpunan yang dipesan sebagian
• Operator relasional, digunakan dalam bahasa pemrograman untuk menunjukkan ketidaksetaraan

Referensi

1. ↑ Laub, M.; Ilani, Ishai (1990). "E3116". The American Mathematical Monthly. 97 (1): 65–67. doi:10.2307/2324012. JSTOR 2324012.
2. ↑ Manyama, S. (2010). "Solution of One Conjecture on Inequalities with Power-Exponential Functions" (PDF). Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications. 7 (2): 1.

Sumber

• Hardy, G., Littlewood J. E., Pólya, G. (1999). Inequalities. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Banyak nama: daftar penulis (link)
• Beckenbach, E. F., Bellman, R. (1975). An Introduction to Inequalities. Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Banyak nama: daftar penulis (link)
• Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). Inequalities: With Applications to Engineering. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Banyak nama: daftar penulis (link)
• Grinshpan, A. Z. (2005), "General inequalities, consequences, and applications", Advances in Applied Mathematics, 34 (1): 71–100, doi:10.1016/j.aam.2004.05.001
• Murray S. Klamkin. "'Quickie' inequalities" (PDF). Math Strategies. Diarsipkan dari asli (PDF) tanggal 2020-10-03. Diakses tanggal 2020-09-27.
• Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities". Online e-book in PDF format.
• Harold Shapiro (2005). "Mathematical Problem Solving". The Old Problem Seminar. Kungliga Tekniska högskolan.
• "3rd USAMO". Diarsipkan dari asli tanggal 2008-02-03.
• Pachpatte, B. G. (2005). Mathematical Inequalities. North-Holland Mathematical Library. Vol. 67 (Edisi first). Amsterdam, The Netherlands: Elsevier. ISBN 0-444-51795-2. ISSN 0924-6509. MR 2147066. Zbl 1091.26008.
• Ehrgott, Matthias (2005). Multicriteria Optimization. Springer-Berlin. ISBN 3-540-21398-8.
• Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54677-5.

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Inequality", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Graph of Inequalities by Ed Pegg, Jr.
• AoPS Wiki entry about Inequalities