Integral pada Trigonometri

Untuk Untuk integral sederhana dari fungsi trignometri, lihat Daftar integral dari fungsi trigonometri.

Artikel ini sedang dalam perbaikan.
Untuk menghindari konflik penyuntingan, mohon jangan melakukan penyuntingan selama pesan ini ditampilkan.
Artikel ini terakhir disunting oleh Arunika Darsana (bicara | kontrib) 4 bulan lalu. (Perbarui pewaktu)

Special function defined by an integralTemplat:SHORTDESC:Special function defined by an integral

Dalam matematika, Integral pada trigonometri adalah kelopak integral yang melibatkan pada fungsi trigonometri.

Integral Sinus

Definisi integral sinus dengan nilai berbeda adalah adalah:

Si ⁡ ( x ) = ∫ 0 x sin ⁡ t t d t {\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt} $\operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt$

si ⁡ ( x ) = − ∫ x ∞ sin ⁡ t t d t . {\displaystyle \operatorname {si} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt~.} $\operatorname {si} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt~.$

Perhatikan jika not integral sin x ⁄ x adalah niali fungsi sinus, dan apabila nilai nol adalah hasil bilangan bulat pada fungsi Bessel.

Definisi, Si(x) adalah antiturunan dari nilai sin x / x yang terdapat nilai nol pada x = 0, dan si(x) adalah antiturunan yang hasil nilai nol pada x = ∞. Perbedaan mereka diberikan oleh Integral Dirichlet,

Si ⁡ ( x ) − si ⁡ ( x ) = ∫ 0 ∞ sin ⁡ t t d t = π 2 or Si ⁡ ( x ) = π 2 + si ⁡ ( x ) . {\displaystyle \operatorname {Si} (x)-\operatorname {si} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ or }}\quad \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}+\operatorname {si} (x)~.} $\operatorname {Si} (x)-\operatorname {si} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ or }}\quad \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}+\operatorname {si} (x)~.$

Dalam pemrosesan sinyal, osilasi integral sinus menyebabkan overshoot dan artefak dering saat menggunakan filter sinus, dan dering domain frekuensi jika menggunakan filter sinus terpotong sebagai filter low-pass.

Integral Kosinus

Definisi dari integral kosinus yang berbeda adalah

Cin ⁡ ( x ) = ∫ 0 x 1 − cos ⁡ t t d ⁡ t , {\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\operatorname {d} t~,} $\operatorname {Cin} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\operatorname {d} t~,$

Ci ⁡ ( x ) = − ∫ x ∞ cos ⁡ t t d ⁡ t = γ + ln ⁡ x − ∫ 0 x 1 − cos ⁡ t t d ⁡ t for | Arg ⁡ ( x ) | < π , {\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\operatorname {d} t=\gamma +\ln x-\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\operatorname {d} t\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,} $\operatorname {Ci} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\operatorname {d} t=\gamma +\ln x-\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\operatorname {d} t\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,$

Darimana nilai γ ≈ 0.5772 1566 ... adalah hasil nilai Konstanta Euler–Mascheroni. Beberapa kosakata banyak yang menggunakan ci bukannya kosakata Ci.

Ci(x) adalah hasil nilai pada antiturunan dari cos x / x (yang menghilang sebagai nilai x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } $x\to \infty$ ). Kedua definisi tersebut terkait dengan:

Ci ⁡ ( x ) = γ + ln ⁡ x − Cin ⁡ ( x ) . {\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Cin} (x)~.} $\operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Cin} (x)~.$

Integral Sinus pada Hiperbolik

Sinus hiperbolik terpisahkan dapat didefinisikan sebagai:

Shi ⁡ ( x ) = ∫ 0 x sinh ⁡ ( t ) t d t . {\displaystyle \operatorname {Shi} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh(t)}{t}}\,dt.} $\operatorname {Shi} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh(t)}{t}}\,dt.$

Hasil tersebut terkait dengan integral sinus biasa oleh

Si ⁡ ( i x ) = i Shi ⁡ ( x ) . {\displaystyle \operatorname {Si} (ix)=i\operatorname {Shi} (x).} $\operatorname {Si} (ix)=i\operatorname {Shi} (x).$

Integral Kosinus Pada Hipebolik

Rumus pada hiperbolik kosinus dengan nilai terpisahkan adalah

Chi ⁡ ( x ) = γ + ln ⁡ x + ∫ 0 x cosh ⁡ t − 1 t d ⁡ t for | Arg ⁡ ( x ) | < π , {\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\;\cosh t-1\;}{t}}\operatorname {d} t\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,} $\operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\;\cosh t-1\;}{t}}\operatorname {d} t\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,$

Darimana γ {\displaystyle \gamma } $\gamma$ adalah Konstanta Euler–Mascheroni.

Rumus ini memiliki konstansa:

Chi ⁡ ( x ) = γ + ln ⁡ ( x ) + x 2 4 + x 4 96 + x 6 4320 + x 8 322560 + x 10 36288000 + O ( x 12 ) . {\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln(x)+{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {x^{4}}{96}}+{\frac {x^{6}}{4320}}+{\frac {x^{8}}{322560}}+{\frac {x^{10}}{36288000}}+O(x^{12}).} $\operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln(x)+{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {x^{4}}{96}}+{\frac {x^{6}}{4320}}+{\frac {x^{8}}{322560}}+{\frac {x^{10}}{36288000}}+O(x^{12}).$

Integral pembantu

f ( x ) ≡ ∫ 0 ∞ sin ⁡ ( t ) t + x d t = ∫ 0 ∞ e − x t t 2 + 1 d t = Ci ⁡ ( x ) sin ⁡ ( x ) + [ π 2 − Si ⁡ ( x ) ] cos ⁡ ( x ) {\displaystyle f(x)\equiv \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}}dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}dt=\operatorname {Ci} (x)\sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)} $f(x)\equiv \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}}dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}dt=\operatorname {Ci} (x)\sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)$

g ( x ) ≡ ∫ 0 ∞ cos ⁡ ( t ) t + x d t = ∫ 0 ∞ t e − x t t 2 + 1 d t = − Ci ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) + [ π 2 − Si ⁡ ( x ) ] sin ⁡ ( x ) {\displaystyle g(x)\equiv \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}}dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}dt=-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)} $g(x)\equiv \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}}dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}dt=-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)$ .

__________________________________ (cf Abramowitz & Stegun, p. 232)

Si ⁡ ( x ) = π 2 − f ( x ) cos ⁡ ( x ) − g ( x ) sin ⁡ ( x ) Ci ⁡ ( x ) = f ( x ) sin ⁡ ( x ) − g ( x ) cos ⁡ ( x ) . {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\operatorname {Si} (x)&=&{\frac {\pi }{2}}-f(x)\cos(x)-g(x)\sin(x)\\\operatorname {Ci} (x)&=&f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x).\\\end{array}}} ${\begin{array}{rcl}\operatorname {Si} (x)&=&{\frac {\pi }{2}}-f(x)\cos(x)-g(x)\sin(x)\\\operatorname {Ci} (x)&=&f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x).\\\end{array}}$