Teorema Bayes

Dalam teori probabilitas dan statistika, teorema Bayes adalah sebuah teorema dengan dua penafsiran berbeda. Dalam penafsiran Bayes, teorema ini menyatakan seberapa jauh derajat kepercayaan subjektif seseorang harus berubah secara rasional ketika ada petunjuk atau informasi baru. Sebagai contoh di malam hari sebelum tidur, kita percaya secara subjektif bahwa besok akan cerah dan peluang hujan hanya 10%. Besok paginya kita bangun tidur dan mendengar berita ramalan cuaca bahwa sedang terjadi hujan lebat di berbagai kota maka kepercayaan subjektif kita berubah dan menaksir bahwa peluang hari ini akan hujan adalah 50%. Dalam penafsiran frekuentis teorema ini menjelaskan representasi invers probabilitas dua kejadian. Teorema ini merupakan dasar dari statistika Bayes dan memiliki penerapan dalam sains, rekayasa, ilmu ekonomi (terutama ilmu ekonomi mikro), teori permainan, kedokteran dan hukum. Penerapan teorema Bayes untuk memperbarui kepercayaan dinamakan inferens Bayes.

Pengenalan

Contoh singkat dari teorema Bayes:

Misalkan kawan Anda bercerita dia bercakap-cakap akrab dengan seseorang lain di atas kereta api. Tanpa informasi tambahan, peluang dia bercakap-cakap dengan perempuan adalah 50%. Sekarang misalkan kawan Anda menyebut bahwa orang lain di atas kereta api itu berambut panjang. Dari keterangan baru ini tampaknya lebih boleh jadi kawan Anda bercakap-cakap dengan perempuan, karena orang berambut panjang biasanya wanita. Teorema Bayes dapat digunakan untuk menghitung besarnya peluang bahwa kawan Anda berbicara dengan seorang wanita, bila diketahui berapa peluang seorang wanita berambut panjang.

Misalkan:

W adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang wanita.

L adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang berambut panjang

M adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang pria

Kita dapat berasumsi bahwa wanita adalah setengah dari populasi. Artinya peluang kawan Anda berbicara dengan wanita,

P ( W ) = 0 , 5 {\displaystyle P(W)=0,5} $P(W)=0,5$

Misalkan juga diketahui 75 persen wanita berambut panjang. Ini berarti bila kita mengetahui bahwa seseorang adalah wanita, peluangnya berambut panjang adalah 0,75. Kita melambangkannya sebagai:

P ( L | W ) = 0 , 75 {\displaystyle P(L|W)=0,75} $P(L|W)=0,75$

Sebagai keterangan tambahan kita juga mengetahui bahwa peluang seorang pria berambut panjang adalah 0,3. Dengan kata lain:

P ( L | M ) = 0 , 3 {\displaystyle P(L|M)=0,3} $P(L|M)=0,3$

Di sini kita mengasumsikan bahwa seseorang itu adalah pria atau wanita, atau P(M) = 1 - P(W) = 0,5. Dengan kata lain M adalah kejadian komplemen dari W.

Tujuan kita adalah menghitung peluang seseorang itu adalah wanita bila diketahui dia berambut panjang, atau dalam notasi yang kita gunakan, P(W|L). Menggunakan teorema Bayes, kita mendapatkan:

P ( W | L ) = P ( L | W ) P ( W ) P ( L ) {\displaystyle P(W|L)={\frac {P(L|W)P(W)}{P(L)}}} $P(W|L)={\frac {P(L|W)P(W)}{P(L)}}$

P ( W | L ) = P ( L | W ) P ( W ) P ( L | W ) P ( W ) + P ( L | M ) P ( M ) {\displaystyle P(W|L)={\frac {P(L|W)P(W)}{P(L|W)P(W)+P(L|M)P(M)}}} $P(W|L)={\frac {P(L|W)P(W)}{P(L|W)P(W)+P(L|M)P(M)}}$

Di sini kita menggunakan aturan peluang total. Dengan memasukkan nilai-nilai peluang yang diketahui ke dalam rumus di atas, kita mendapatkan peluang seseorang itu wanita bila diketahui dia berambut panjang adalah 0,714. Angka ini sesuai dengan intuisi awal kita, bahwa peluang kawan kita itu bercakap-cakap dengan wanita meningkat. Walaupun demikian, peluangnya tidak mencapai 1 karena tidak semua perempuan berambut panjang dan masih ada peluang orang yang berambut panjang adalah pria.

Dari contoh di atas kita bisa merumuskan teorema Bayes secara umum.